8-1
《通信原理,第四十八讲
一,二进制确知信号最佳接收机误码性能
相关器形式的最佳接收机与匹配滤波器形式的最佳接收机是等价的。 下面从相关器形式的最佳接收机角度来分析这个问题。
a) 输出误码率
总的误码率为
)()()()(
1221
21
sPsPsPsPP
sse
+= (8.3-15)
分析 )(
2
1
sP
s
与 )(
1
2
sP
s
的方法相同，我们以分析 )(
2
1
sP
s
为例。
设发送信号为 )(
1
ts,接收机输入端合成波为
)()()(
1
tntsty += (8.3-16)
其中 )(tn 是高斯白噪声，其均值为零，方差为
2
n
σ 。若
∫∫
+>+
TT
dttstyUdttstyU
0
22
0
11
)()()()( (8.3-17)
判为 )(
1
ts 出现，则是正确判决。若
∫∫
+<+
TT
dttstyUdttstyU
0
22
0
11
)()()()( (8.3-18)
判为 )(
2
ts 出现，则是错误判决。
将 )()()(
1
tntsty += 代入式 (8.3-18)可得
[] []
∫∫
+<?+
TT
dttstntsUdttstntsU
0
212
0
111
)()()()()()( (8.3-19)
代入 )(ln
2
1
0
1
sP
n
U = 和 )(ln
2
2
0
2
sP
n
U = 可得
[] []
∫∫
+<?+
TT
dttstntssP
n
dttstntssP
n
0
212
0
0
111
0
)()()()(ln
2
)()()()(ln
2
(8.3-20)
利用 )(
1
ts 和 )(
2
ts 能量相等的条件，式 (8.3-20)可简化为
[] []
∫∫
<?
TT
dttsts
sP
sPn
dttststn
0
2
21
1
20
0
21
)()(
2
1
)(
)(
ln
2
)()()( (8.3-21)
8-2
式 (8.3-21)左边是随机变量，令为 ξ
[]
∫
=
T
dttststn
0
21
)()()(ξ (8.3-22)
式 (8.3-21)右边是常数，令为 a
[]
∫
=
T
dttsts
sP
sPn
a
0
2
21
1
20
)()(
2
1
)(
)(
ln
2
(8.3-23)
式 (8.3-21)可简化为
a<ξ (8.3-24)
判为 )(
2
ts 出现，产生错误判决。相应的错误概率为
)()(
2
1
aPsP
s
<= ξ (8.3-25)
只要求出随机变量 ξ 的概率密度函数，即可计算出式 (8.3-25)的数值。
高斯型随机过程的积分是一个高斯型随机变量。所以 ξ 是一个高斯随机变量。
ξ 的数学期望为
[]{ }
∫
=
T
dttststnEE
0
21
)()()(][ξ
[]
∫
=
T
dttststnE
0
21
)()()]([ (8.3-26)
由于
0)]([ =tnE
所以有
0][ =ξE
ξ 的方差为
[][ ]{ }
∫∫
===
TT
dtdssntststnEED
0
2121
0
22
)()()()()()(][][ ττττξξσ
ξ
[][ ][ ]
∫∫
=
TT
dtdsststsntnE
0
2121
0
)()()()()()( ττττ (8.3-27)
式中 [])()( τntnE 为高斯白噪声 )(tn 的自相关函数。
[]
≠
=
=?=
τ
τδ
τδτ
t
t
n
t
n
ntnE
,0
),0(
2
)(
2
)()(
0
0
(8.3-28)
8-3
将上式代入式 (8.3-27)可得
[]
∫
=
T
dttsts
n
0
2
21
02
)()(
2
ξ
σ (8.3-29)
于是可以写出 ξ 的概率密度函数为
=
2
2
2
exp
2
1
)(
ξξ
σ
ξ
σπ
ξf (8.3-30)
至此可得发送 )(
1
ts 将其错误判决为 )(
2
ts 的概率为
xd
x
aPsP
b
s
∫
∞
=<=
2
exp
2
1
)()(
2
2
1
π
ξ (8.3-31)
利用相同的分析方法可以得到发送 )(
2
ts 将其错误判决为 )(
1
ts 的概率为
xd
x
sP
b
s
∫
∞
′
=
2
exp
2
1
)(
2
1
2
π
(8.3-32)
系统总的误码率为
)()()()(
1221
21
sPsPsPsPP
sse
+=
+
=
∫∫
∞
′
∞
xd
x
sPxd
x
sP
bb
2
exp
2
1
)(
2
exp
2
1
)(
2
2
2
1
ππ
(8.3-33)
式中 b 和 b′分别为
[]
[]
∫
∫
+?=
T
T
dttsts
n
sP
sP
dttsts
n
b
0
2
21
0
2
1
0
2
21
0
)()(
2
1
2
)(
)(
ln
)()(
2
1
(8.3-34)
[]
[]
∫
∫
+?=′
T
T
dttsts
n
sP
sP
dttsts
n
b
0
2
21
0
1
2
0
2
21
0
)()(
2
1
2
)(
)(
ln
)()(
2
1
(8.3-35)
由式 (8.3-33)、式 (8.3-34)和式 (8.3-35)可以看出，最佳接收机的误码性能与先验概率 )(
1
sP 和 )(
2
sP, 噪声功率谱密度
0
n 及 )(
1
ts )(
2
ts 之差的能量有关,而与 )(
1
ts
和 )(
2
ts 本身的具体结构无关。
8-4
b) 最佳信号形式
一般情况下先验概率不容易确定，通常选择先验等概的假设设计最佳接收机。
比较式 (8.3-34)和式 (8.3-35)可以看出，当发送信号先验概率相等时,bb ′=,
此时误码率可表示为
=
=
∫
∞
2
2
1
2
exp
2
1
2
A
erfcxd
x
P
A
e
π
(8.3-36)
式中
[]
∫
=
T
dttsts
n
A
0
2
21
0
)()(
2
1
(8.3-37)
为了分析方便，我们定义 )(
1
ts 和 )(
2
ts 之间的互相关系数为
E
dttsts
T
∫
=
0
21
)()(
ρ (8.3-38)
式中 E 是信号 )(
1
ts 和 )(
2
ts 在 Tt ≤≤0 期间的平均能量。当 )(
1
ts 和 )(
2
ts 具有相等的能量时
b
EEEE ===
21
(8.3-39)
将
b
E 和 ρ 代入式 (8.3-37)可得
()
0
1
n
E
A
b
ρ?
= (8.3-40)
此时，式 (8.3-36)可表示为
=
0
2
)1(
2
1
n
E
erfcP
b
e
ρ
(8.3-41)
上式即为二进制确知信号最佳接收 机误码率一般表示式。它与信噪比
0
n
E
b
及发送信号之间的互相关系数 ρ 有关。
由互补误差函数 )(xerfc 的性质,为了得到最小的误码率
e
P, 就要使
0
2
)1(
n
E
b
ρ?
最大化。 当信号能量
b
E 和噪声功率谱密度
0
n 一定时,误码率
e
P 就是互相关系数 ρ
8-5
的函数。互相关系数 ρ 愈小，误码率
e
P 也愈小，要获得最小的误码率
e
P,就要求出最小的互相关系数 ρ 。
根据互相关系数 ρ 的性质,ρ 的取值范围为
11 ≤≤? ρ
当 ρ 取最小值 1?=ρ 时，误码率
e
P 将达到最小，此时误码率为
=
0
2
1
n
E
erfcP
b
e
(8.3-42)
上式即为发送信号先验概率相等时二进制确知信号最佳接收机所能达到的最小误码率，此时相应的发送信号 )(
1
ts 和 )(
2
ts 之间的互相关系数 1?=ρ 。也就是说，
当发送二进制信号 )(
1
ts 和 )(
2
ts 之间的互相关系数 1?=ρ 时的波形就称为是 最佳波形 。
当互相关系数 0=ρ 时，误码率为
=
0
22
1
n
E
erfcP
b
e
(8.3-43)
若互相关系数 1=ρ,则误码率为
2
1
=
e
P
若发送信号 )(
1
ts 和 )(
2
ts 是不等能量信号，如 0
1
=E,
b
EE =
2
,0=ρ,发送信号 )(
1
ts 和 )(
2
ts 的平均能量为
2
b
E
E =,在这种情况下误码率表示式 (8.3-43)变为
=
0
42
1
n
E
erfcP
b
e
(8.3-44)
在第五章数字基带传输系统误码率性能分析中我们知道,双极性信号的误码率低于单极性信号，其原因之一就是双极性信号之间的互相关系数 1?=ρ,而 单极性信号之间的互相关系数 0=ρ 。 在第七章数字频带传输系统误码性能分析中，
2PSK 信号能使互相关系数 1?=ρ,因此 2PSK 信号是最佳信号波形； 2FSK 和
8-6
2ASK 信号对应的互相关系数 0=ρ 。 因此 2PSK 系统的误码率性能优于 2FSK 和
2ASK 系统； 2FSK 信号是等能量信号,而 2ASK 信号是不等能量信号,因此 2FSK
系统的误码率性能优于 2ASK 系统。