8-1
《通信原理,第四十九讲
§ 8,5 最佳接收机性能比较
实际接收机和最佳接收机误码性能一览表如表 8-1 所示。可以看出，两种结构形式的接收机误码率表示式具有相同的数学形式，实际接收机中的信噪比
N
S
r = 与最佳接收机中的能量噪声功率谱密度之比
0
n
E
b
相对应。
表 8-1 误码率公式一览表
接收方式 实际接收机误码率
e
P 最佳接收机误码率
e
P
相干 PSK
( )rerfc
2
1
0
2
1
n
E
erfc
b
相干 FSK
22
1 r
erfc
0
22
1
n
E
erfc
b
相干 ASK
42
1 r
erfc
0
42
1
n
E
erfc
b
非相干 FSK
2
2
1
r
e
0
2
2
1
n
E
b
e
假设在接收机输入端信号功率和信道相同的条件下比较两种结构形式接收机的误码性能。在相同的条件下，若
0
n
E
r
b
>,实际接收机误码率小于最佳接收机误码率，则实际接收机性能优于最佳接收机性能；若
0
n
E
r
b
<,实际接收机误码率大于最佳接收机误码率，则最佳接收机性能优于实际接收机性能；若
0
n
E
r
b
=,实际接收机误码率等于最佳接收机误码率,则实际接收机性能与最佳接收机性能相同。下面我们就来分析 r 与
0
n
E
b
之间的关系。
由第七章分析我们知道，实际接收机输入端总是有一个带通滤波器，其作用有两个：一是使输入信号顺利通过；二是使噪声尽可能少的通过，以减小噪声对
8-2
信号检测的影响。信噪比
N
S
r = 是指带通滤波器输出端的信噪比。设噪声为高斯白噪声，单边功率谱密度为
0
n,带通滤波器的等效矩形带宽为 B,则带通滤波器输出端的信噪比为
Bn
S
N
S
r
0
== (8.5-1)
信噪比 r 与带通滤波器带宽 B 有关。
对于最佳接收系统，接收机前端没有带通滤波器，其输入端信号能量与噪声功率谱密度之比为
==
T
n
S
n
ST
n
E
b
1
0
00
(8.5-2)
式中,S 为信号平均功率,T 为码元时间宽度。
比较式 (8.5-1)和式 (8.5-2)可以看出，对系统性能的比较最终可归结为对实际接收机带通滤波器带宽 B 与码元时间宽度 T 的比较。
T
1
是基带数字信号的重复频率，对于 2PSK 等数字调制信号，
T
1
的宽度等于 2PSK 信号频谱主瓣宽度的一半。若选择带通滤波器的带宽
T
B
1
≤,则必然会使信号产生严重的失真，这与实际接收机中假设“带通滤波器应使输入信号顺利通过”条件相矛盾。这表明，在实际接收机中，为使信号顺利通过，带通滤波器的带宽必须满足
T
B
1
> 。在此情况下，实际接收机性能比最佳接收机性能差。
上述分析表明：在相同条件下，最佳接收机性能一定优于实际接收机性能。
§ 8,6 最佳基带传输系统
在以上几节最佳接收机讨论中，是在给定信号的条件下，构造一种最佳接收机使对信号检测的差错概率达到最小。从分析结果我们知道，最佳接收机的性能不仅与接收机结构有关而且与发送端所选择的信号形式有关。因此，仅仅从接收机考虑使得接收机最佳，并不一定能够达到使整个通信系统最佳。这一节我们将发送、信道和接收作为一个整体，从系统的角度出发来讨论通信系统最佳化的问题。为了使问题简化，我们以基带传输系统为例进行分析。
8-3
一,最佳基带传输系统的组成
在加性高斯白噪声信道下的基带传输系统组成如图 8-10 所示。 )(ω
T
G 为发送滤波器传输函数； )(ω
R
G 为接收滤波器传输函数； )(ωC 为信道传输特性，在理想信道条件下 1)( =ωC ； )(tn 为高斯白噪声，其双边功率谱密度为
2
0
n
。
抽样判决
+
)(ω
T
G
)(ωC )(ω
R
G
)(tn
{}
n
a {}
n
a′
)(td
图 8-10 基带传输系统组成
最佳基带传输系统的准则是：判决器输出差错概率最小。
影响系统误码率性能的因素有两个：其一是码间干扰；其二是噪声。码间干扰的影响，可以通过系统传输函数的设计，使得抽样时刻样值的码间干扰为零。
对于加性噪声的影响，可以通过接收滤波器的设计，尽可能减小噪声的影响。最佳基带传输系统的设计就是通过对发送滤波器,接收滤波器和系统总的传输函数的设计，使系统输出差错概率最小。
设图 8-10 中发送滤波器的输入基带信号为
∑
=
n
sn
nTtatd )()( δ (8.6-1)
对于理想信道 )(ωC =1，此时系统总的传输函数为
)()()()()()( ωωωωωω
RTRT
GGGCGH == (8.6-2)
当系统总的传输函数 )(ωH 满足下式时就可以消除抽样时刻的码间干扰，即
>
≤=+
=
∑
s
si s
eq
T
T
K
T
i
H
H
π
ω
π
ω
π
ω
ω
,0
,)
2
(
)( (8.6-3)
式中，
s
T 为码元时间间隔,K 为常数。
由匹配滤波器理论我们知道,判决器输出误码率大小与抽样时刻所得样值的
8-4
信噪比有关，信噪比越大输出误码率就越小。而匹配滤波器能够在抽样时刻得到最大的信噪比。
发送信号经过信道到达接收滤波器输入端
∑
=?=
n
sTnTi
nTtgatgtdts )()()()( (8.6-4)
输入信号的频谱函数为
)()( ωω
Ti
GS = (8.6-5)
为了使接收滤波器输出在抽样时刻得到最大信噪比，接收滤波器传输函数
)(ω
R
G 应满足与其输入信号频谱复共轭一致，即
0
)()(
* tj
TR
eGG
ω
ωω
= (8.6-6)
不失一般性，可取 0
0
=t 。将式 (8.6-2)和式 (8.6-6)结合，可得以下方程组
=
=
)()(
)()()(
*
ωω
ωωω
TR
RT
GG
GGH
(8.6-7)
解方程组 (8.6-7)可得
2
1
)()()( ωωω HGG
RT
== (8.6-8)
选择合适的相位，使上式满足
2
1
)()()( ωωω HGG
RT
== (8.6-9)
最佳基带传输系统应该这样来设计：首先选择一个无码间干扰的系统总的传输函数 )(ωH,然后将 )(ωH 开平方一分为二，一半作为发送滤波器的传输函数
)()(
2
1
ωω HG
T
=,另一半作为接收滤波器的传输函数 )()(
2
1
ωω HG
R
= 。此时构成的基带系统就是一个在发送信号功率一定的约束条件下误码率最小的最佳基带传输系统。
《通信原理,第四十九讲
§ 8,5 最佳接收机性能比较
实际接收机和最佳接收机误码性能一览表如表 8-1 所示。可以看出，两种结构形式的接收机误码率表示式具有相同的数学形式，实际接收机中的信噪比
N
S
r = 与最佳接收机中的能量噪声功率谱密度之比
0
n
E
b
相对应。
表 8-1 误码率公式一览表
接收方式 实际接收机误码率
e
P 最佳接收机误码率
e
P
相干 PSK
( )rerfc
2
1
0
2
1
n
E
erfc
b
相干 FSK
22
1 r
erfc
0
22
1
n
E
erfc
b
相干 ASK
42
1 r
erfc
0
42
1
n
E
erfc
b
非相干 FSK
2
2
1
r
e
0
2
2
1
n
E
b
e
假设在接收机输入端信号功率和信道相同的条件下比较两种结构形式接收机的误码性能。在相同的条件下，若
0
n
E
r
b
>,实际接收机误码率小于最佳接收机误码率，则实际接收机性能优于最佳接收机性能；若
0
n
E
r
b
<,实际接收机误码率大于最佳接收机误码率，则最佳接收机性能优于实际接收机性能；若
0
n
E
r
b
=,实际接收机误码率等于最佳接收机误码率,则实际接收机性能与最佳接收机性能相同。下面我们就来分析 r 与
0
n
E
b
之间的关系。
由第七章分析我们知道，实际接收机输入端总是有一个带通滤波器，其作用有两个：一是使输入信号顺利通过；二是使噪声尽可能少的通过，以减小噪声对
8-2
信号检测的影响。信噪比
N
S
r = 是指带通滤波器输出端的信噪比。设噪声为高斯白噪声，单边功率谱密度为
0
n,带通滤波器的等效矩形带宽为 B,则带通滤波器输出端的信噪比为
Bn
S
N
S
r
0
== (8.5-1)
信噪比 r 与带通滤波器带宽 B 有关。
对于最佳接收系统，接收机前端没有带通滤波器，其输入端信号能量与噪声功率谱密度之比为
==
T
n
S
n
ST
n
E
b
1
0
00
(8.5-2)
式中,S 为信号平均功率,T 为码元时间宽度。
比较式 (8.5-1)和式 (8.5-2)可以看出，对系统性能的比较最终可归结为对实际接收机带通滤波器带宽 B 与码元时间宽度 T 的比较。
T
1
是基带数字信号的重复频率，对于 2PSK 等数字调制信号，
T
1
的宽度等于 2PSK 信号频谱主瓣宽度的一半。若选择带通滤波器的带宽
T
B
1
≤,则必然会使信号产生严重的失真，这与实际接收机中假设“带通滤波器应使输入信号顺利通过”条件相矛盾。这表明，在实际接收机中，为使信号顺利通过，带通滤波器的带宽必须满足
T
B
1
> 。在此情况下，实际接收机性能比最佳接收机性能差。
上述分析表明：在相同条件下，最佳接收机性能一定优于实际接收机性能。
§ 8,6 最佳基带传输系统
在以上几节最佳接收机讨论中，是在给定信号的条件下，构造一种最佳接收机使对信号检测的差错概率达到最小。从分析结果我们知道，最佳接收机的性能不仅与接收机结构有关而且与发送端所选择的信号形式有关。因此，仅仅从接收机考虑使得接收机最佳，并不一定能够达到使整个通信系统最佳。这一节我们将发送、信道和接收作为一个整体，从系统的角度出发来讨论通信系统最佳化的问题。为了使问题简化，我们以基带传输系统为例进行分析。
8-3
一,最佳基带传输系统的组成
在加性高斯白噪声信道下的基带传输系统组成如图 8-10 所示。 )(ω
T
G 为发送滤波器传输函数； )(ω
R
G 为接收滤波器传输函数； )(ωC 为信道传输特性，在理想信道条件下 1)( =ωC ； )(tn 为高斯白噪声，其双边功率谱密度为
2
0
n
。
抽样判决
+
)(ω
T
G
)(ωC )(ω
R
G
)(tn
{}
n
a {}
n
a′
)(td
图 8-10 基带传输系统组成
最佳基带传输系统的准则是：判决器输出差错概率最小。
影响系统误码率性能的因素有两个：其一是码间干扰；其二是噪声。码间干扰的影响，可以通过系统传输函数的设计，使得抽样时刻样值的码间干扰为零。
对于加性噪声的影响，可以通过接收滤波器的设计，尽可能减小噪声的影响。最佳基带传输系统的设计就是通过对发送滤波器,接收滤波器和系统总的传输函数的设计，使系统输出差错概率最小。
设图 8-10 中发送滤波器的输入基带信号为
∑
=
n
sn
nTtatd )()( δ (8.6-1)
对于理想信道 )(ωC =1，此时系统总的传输函数为
)()()()()()( ωωωωωω
RTRT
GGGCGH == (8.6-2)
当系统总的传输函数 )(ωH 满足下式时就可以消除抽样时刻的码间干扰，即
>
≤=+
=
∑
s
si s
eq
T
T
K
T
i
H
H
π
ω
π
ω
π
ω
ω
,0
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2
(
)( (8.6-3)
式中，
s
T 为码元时间间隔,K 为常数。
由匹配滤波器理论我们知道,判决器输出误码率大小与抽样时刻所得样值的
8-4
信噪比有关，信噪比越大输出误码率就越小。而匹配滤波器能够在抽样时刻得到最大的信噪比。
发送信号经过信道到达接收滤波器输入端
∑
=?=
n
sTnTi
nTtgatgtdts )()()()( (8.6-4)
输入信号的频谱函数为
)()( ωω
Ti
GS = (8.6-5)
为了使接收滤波器输出在抽样时刻得到最大信噪比，接收滤波器传输函数
)(ω
R
G 应满足与其输入信号频谱复共轭一致，即
0
)()(
* tj
TR
eGG
ω
ωω
= (8.6-6)
不失一般性，可取 0
0
=t 。将式 (8.6-2)和式 (8.6-6)结合，可得以下方程组
=
=
)()(
)()()(
*
ωω
ωωω
TR
RT
GG
GGH
(8.6-7)
解方程组 (8.6-7)可得
2
1
)()()( ωωω HGG
RT
== (8.6-8)
选择合适的相位，使上式满足
2
1
)()()( ωωω HGG
RT
== (8.6-9)
最佳基带传输系统应该这样来设计：首先选择一个无码间干扰的系统总的传输函数 )(ωH,然后将 )(ωH 开平方一分为二，一半作为发送滤波器的传输函数
)()(
2
1
ωω HG
T
=,另一半作为接收滤波器的传输函数 )()(
2
1
ωω HG
R
= 。此时构成的基带系统就是一个在发送信号功率一定的约束条件下误码率最小的最佳基带传输系统。
