7-1
《通信原理,第四十一讲
一,二进制移频键控(2FSK)系统的抗噪声性能
a) 同步检测法的系统性能
带通滤波器 相乘器低通滤波器抽样判决器定时脉冲输出
t
1
cos2 ω发送端 信道
)(ts
T
)(tn
i
)(ty
i
)(
1
ty
)(
1
tx
e
P
带通滤波器 相乘器低通滤波器
t
2
cos2 ω
)(
2
ty
)(
2
tx
1
ω
2
ω
图 7-27 2FSK 信号采用同步检测法性能分析模型
在码元时间宽度
s
T 区间，发送端产生的 2FSK 信号可表示为
=
”符号发送“，
”符号发送“
0)(
1),(
)(
0
1
tu
tu
ts
T
T
T
(7.2-42)
其中
<<
=
t
TttA
tu
S
T
其它，0
0,cos
)(
1
1
ω
(7.2-43)
<<
=
t
TttA
tu
S
T
其它，0
0,cos
)(
2
0
ω
(7.2-44)
式中
1
ω 和
2
ω 分别为发送“1”符号和“0”符 号的载波角频率。信道输出合成波形 )(ty
i
为
+
+
=
”符号发送“，
”符号发送“
0)()(
1),()(
)(
0
1
tntKu
tntKu
ty
iT
iT
i
+
+
=
”符号发送“
”符号发送“
0),(cos
1),(cos
2
1
tnta
tnta
i
i
ω
ω
(7.2-45)
式中,)(tn
i
为加性高斯白噪声，其均值为零，方差为
2
σ 。
7-2
+
=
”符号发送“
”符号发送“
0),(
1),(cos
)(
1
11
1
tn
tnta
ty
ω
+
=
”符号发送“，
”符号发送“
0sin)(cos)(
1,sin)(cos)]([
1111
1111
ttnttn
ttnttna
sc
sc
ωω
ωω
(7.2-46)
同理
+
=
”符号发送“
”符号发送“
0),(cos
1),(
)(
22
2
2
tnta
tn
ty
ω
+
=
”符号发送“，
”符号发送“
0sin)(cos)]([
1,sin)(cos)(
2222
2222
ttnttna
ttnttn
sc
sc
ωω
ωω
(7.2-47)
假设在 ),0(
s
T 发送“1”信号,
ttnttnaty
sc 11111
sin)(cos)]([)( ωω?+=
ttnttnty
sc 22222
sin)(cos)()( ωω?=
上下两个支路低通滤波器的输出 )(
1
tx 和 )(
2
tx 为
)()(
11
tnatx
c
+= (7.2-50)
)()(
22
tntx
c
= (7.2-51)
式中,a 为信号成分,)(
1
tn
c
和 )(
2
tn
c
均为低通型高斯噪声，其均值为零，方差为
2
n
σ 。因此,)(
1
tx 和 )(
2
tx 在
s
kT 时刻抽样值的一维概率密度函数分别为

=
2
2
1
1
2
)(
exp
2
1
)(
nn
ax
xf
σσπ
(7.2-52)
=
2
2
2
2
2
exp
2
1
)(
nn
x
xf
σσπ
(7.2-53)
错误概率 )1/0(P 为
)0()0()()1/0(
2121
<=<?=<= zPxxPxxPP
式中，
21
xxz?= 。 z是高斯型随机变量，其均值为 a，方差为
22
2
nz
σσ =,

=

=
2
2
2
2
4
)(
exp
2
1
2
)(
exp
2
1
)(
nnzz
azaz
zf
σσπσσπ
(7.2-54)
7-3
)0()()1/0(
21
<=<= zPxxPP
dz
ax
dzzf
zz
∫∫
∞?∞?

==
0
2
2
0
2
)(
exp
2
1
)(
σσπ
=
22
1 r
erfc (7.2-55)
=>=
22
1
)()0/1(
21
r
erfcxxPP
)0/1()0()1/0()1( PPPPP
e
+=
=
22
1 r
erfc (7.2-56)
式中
2
2
2
n
a
r
σ
= 为信噪比。 1>>r 时,
2
2
1
r
e
e
r
P
≈
π
(7.2-57)
b) 包络检波法的系统性能
带通滤波器 包络检波器抽样判决器定时脉冲输出发送端 信道
)(ts
T
)(tn
i
)(ty
i
)(
1
ty
)(
1
tV
e
P
带通滤波器 包络检波器
)(
2
ty
)(
2
tV
1
ω
2
ω
图 7-28 2FSK 信号采用包络检波法解调性能分析模型
+
=
”符号发送“
”符号发送“
0),(
1),(cos
)(
1
11
1
tn
tnta
ty
ω
+
=
”符号发送“，
”符号发送“
0sin)(cos)(
1,sin)(cos)]([
1111
1111
ttnttn
ttnttna
sc
sc
ωω
ωω
(7.2-58)
7-4
+
=
”符号发送“
”符号发送“
0),(cos
1),(
)(
22
2
2
tnta
tn
ty
ω
+
=
”符号发送“，
”符号发送“
0sin)(cos)]([
1,sin)(cos)(
2222
2222
ttnttna
ttnttn
sc
sc
ωω
ωω
(7.2-59)
若在 ),0(
s
T 发送“1”信号,
ttnttnaty
sc 11111
sin)(cos)]([)( ωω?+=
)](cos[)()]([
11
2
1
2
1
tttntna
sc
ω +++= (7.2-60)
ttnttnty
sc 22222
sin)(cos)()( ωω?=
)](cos[)()(
22
2
2
2
2
tttntn
sc
ω ++= (7.2-61)
)()]([)(
2
1
2
11
tntnatV
sc
++=
)()()(
2
2
2
22
tntntV
sc
+=
在
s
kT 时刻，抽样判决器的抽样值分别为
2
1
2
11
][
sc
nnaV ++= (7.2-62)
2
2
2
22 sc
nnV += (7.2-63)
1
V 服从广义瑞利分布，
2
V 服从瑞利分布。
222
1
2/)(
2
1
02
1
1
)(
n
aV
nn
e
aV
I
V
Vf
σ
σσ
+?
= (7.2-64)
22
2
2/
2
2
2
)(
n
V
n
e
V
Vf
σ
σ
= (7.2-65)
212121
)()()()1/0( dVdVVfVfVVPP
c
∫∫
=≤=
1
0
221
12
)()( dVdVVfVf
VV
∫∫
∞∞
=?
=
1
0
2
2/
2
2
2/)(
2
1
02
1
12
22
2
222
1
dVdVe
V
e
aV
I
V
VV
V
n
aV
nn
nn
=
+?
=
σσ
σσσ
1
0
2/)2(
2
1
02
1
222
1
dVe
aV
I
V
n
aV
nn
∫
∞
+?
=
σ
σσ
7-5
令
n
V
t
σ
1
2
=,
n
a
z
σ2
=
可得
=
∫
∞

n
naV
nnnn
V
dee
Va
I
V
P
nn
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σσ
1
0
2//
1
0
1
2
2
2
2
2
2
1
)1/0(
2222
1
∫
∞

=
0
2
0
22
)(
2
1
dteezttI
zt
2
0
2/)(
0
2
2222
2
1
)(
2
1
zztz
edtezttIe
∞
+
∫
==
2
2
1
r
e
= (7.2-66)
式中，
2
2
2
n
a
r
σ
= 。
2
21
2
1
)()0/1(
r
eVVPP
=>=
)0/1()0()1/0()1( PPPPP
e
+=
2
2
1
r
e
= (7.2-67)
在大信噪比条件下,2FSK 信号采用包络检波法解调性能与同步检测法解调性能接近，同步检测法性能较好。