西南交通大学 §13-4 拉普拉斯反变换 反变换公式： dsesFjtf j j st∫ ∞+ ∞? = s sp )(21)( 部分分式展开法，又称海维赛展开定理 1 10 1 10 ()() () mm nn n asasasaNsFs Dssbsbsb ? ? ? ? ++++== ++++ L L 对于电路分析，总有n ? m 。 西南交通大学 1 10 1 10 ()() () mm nn n asasasaNsFs Dssbsbsb ? ? ? ? ++++== ++++ L L ①当n> m时， )( )()( sD sNsF = 为真分式 ②当n=m时， )( )()( 0 sD sNAsF += 一、 0)( =sD 有n个单根（ )(sF 为单极点） 即 0)( =sD 的根为p1, p2, …, pn，那么 n n ps k ps k ps k sD sNsF ?++?+?== L2 2 1 1 )( )()( 西南交通大学 方法1：方程两边乘 )( 1ps ? )()()()( 11 2 2 11 psps kps ps kksFps n n ? ?++??+=? L 1 )()( 11 pssFpsk =?= ∴ ipsii sFpsk =?= )()( 其中i = 1, 2, …, n 西南交通大学 方法2： ipsii sD sNpsk =??= )( )()( )( )()()(lim )( )]()[( lim sD sNpssN sDdsd sNpsdsd k i ps i psi i i ′ ′?+= ? = → → )( )( i i pD pN ′= 即 因 ipsi )s(D )s(Nk =′= 西南交通大学 ][)]([)( 2 2 1 111 n n ps k ps k ps ksFtf ?++?+?== ?? LLL ][L][L][L 1 2 21 1 11 n n ps k ps k ps k ?+++?+?= ??? L 021 21 ≥++= tekekek tpntptp nL 西南交通大学 例：求 65 54)( 2 ++ += ss ssF 的原函数 解： 0)2)(3(65)( 2 =++=++= sssssD 根 31 ?=p 22 ?=p 23)( 21 +++= s k s ksF 7)2( )54()()3( 331 =++=+= ?=?= ss sssFsk 3)()2( 22 ?=+= ?=ssFsk 西南交通大学 或 75)3(2 512)52( 54)( )( 331 =+? +?++=′= ?=?= ss sssD sNk 354 3)52( 54 22 ?=+? ?=++= ?=sssk ∴ 2337)( +?++= sssF 037)]([)( 231 ≥?== ??? teesFtf ttL 西南交通大学 例：求 sss ssF 422 1)( 23 ?+ += 的原函数。 解： )1)(2(2 1)2(2 1)( 2 ?+ +=?++= sss ssss ssF 12 321 ?+++= s k s k s k 4 1 )1)(2(2 1)( 001 ?=?+ +== == ss ss sssFk 西南交通大学 12 1 )1(2 1)()2( 222 ?=? +=+= ?=?= ss ss ssFsk 3 1 )2(2 1)()1( 113 =+ +=?= == ss ss ssFsk 得 12)( 3 1 12 1 4 1 ?++ ?+?= ssssF 03112141)]([)( 21 ≥+??== ?? teesFtf ttL 西南交通大学 二、D(s) = 0 时存在共轭复根 01 2 01 bsbs asa)s(F ++ += 方法1： ω+α?= jp1 ω?α?== ? jpp 12 则 )()()( 21 2 2 1 1 wawa js k js k ps k ps ksF ???++??=?+?= ω+α?=ω+α?= ′ω+α??= jsjs sD sNsFjsk )( )()()]([ 1 ＝ 或 ω?α?=ω?α?= ′ω?α??= jsjs sD sNsFjsk )( )()()]([ 2 ＝ 或 西南交通大学 1 112 qjekkk ?? == tjtj ekektf )( 2 )( 1)( ω?α?ω+α? += tjtjtjtj eeekeeek waqwaq ???? ??+??= 11 11 )cos(2 11 qwa += ? tek t ]2[2 )()( 1 11 qwqwa +?+? + = tjtj t eeek 西南交通大学 方法2：配方法 ts www sin22 ?+ t s s w w cos22 ?+ tes t ω?ω+α+ ω α? sin)( 22 tes s t ω?ω+α+ α+ α? cos)( 22 西南交通大学 22 01 22 1 )()( )( wa wwa wa a ++ +? +++ += s aa s sa 0sincos )( 01 1 ≥ +?+ = ?? tteaatea tf tt w w aw aa 01 2 01)( bsbs asasF ++ += 西南交通大学 例： 522)( 2 ++= sssF 求其反变换。 解：方法1 052)( 2 =++= sssD )21()21()( 21 js k js ksF ???++??= 212 54422,1 jp ±?=×?±?= 2 1 )21( 2)()]21([ 21211 jjssFjsk jsjs ?=???=+??= +?=+?= 2 1 )21( 2)()]21([ 21212 jjssFjsk jsjs =+??=???= ??=??= 西南交通大学 02sin)22cos( 2 1 2 1 2222 ≥=?= ?+?= ?? +???? ttete eeee tt jtjtjtjt p pp tjtj ejejtf )21()21( 2 1 2 1)( ??+? +?= )21()21()( 2 1 2 1 js j js jsF ???++?? ?= 西南交通大学 方法2 ：配方法 52 2)( 2 ++= sssF 02sin)( ≥= ? ttetf t 22 2 2)1( 2 4)12( 2 ++= +++= s ss 西南交通大学 例： )102)(1( 9)( 2 3 +++= sss ssF ，求原函数。 解：先化为真分式 )102)(1( 90108279)( 2 2 +++ ???+= sss sssF 1)102)(1( 9010827)1( 12 2 1 ?=+++ ???+= ?=ssss sssk )102()1(9 2 321 ++ ++ ++= ss ksk s k 西南交通大学 03sin183cos26)(9)( ≥???= ??? tteteettf tttd )102( 8026 )1( 19)( 2 ++ ??+ + ?+= ss s ssF 2222 3)1( 318 3)1( )1(26 )1( 19 ++ ×?+ ++ +?+ + ?+= ss s s 西南交通大学 三、D(s)=0 时有重根： 以 )()()( 231 pspssD ??= 为例，其中 21 pp ≠ 2 4 1 3 2 1 2 3 1 1 2 3 1 )()()( )()( )( )( )()( ps k ps k ps k ps k psps sN sD sNsF ?+?+?+?= ??== k4：求法同单根 k1：方程两边同乘以 31 )( ps ? 西南交通大学 则 2 3 1 4 2 13121 3 1 )()()()()( ps pskpskpskksFps ? ?+?+?+=? 1 )()( 311 pssFpsk =?= ]')([)(2)]()[( 2 3 1 4132 3 1 ps pskpskksFps ds d ? ?+?+=? 1 )]()[( 312 pssFpsdsdk =?= k2： 1 )]()[(21 312 2 3 pssFpsds dk =?= ])([)]()[(21 2 3 1 43 3 12 2 ′′??+=? ps pskksFpsdsdk3： 西南交通大学 若为m阶重根，则 LL +?+?+?+?= ?? 1 2 1 1 1 1 2 1 1 )()()()( ps k ps k ps k ps ksF mm mm 1 )()( 11 psm sFpsk =?= 1 )]()[()!1( 1 11 1 ps m i i i sFpsds d ik =? ? ??= 西南交通大学 例：求 )1()2( 4)( 3 ++ += ss ssF 的原函数。 解： 12)2()2()( 432231 +++++++= sksks ks ksF 其中： 2 1 4)()2( 22 3 1 ?=+ +=+= ?=?= ss s ssFsk 3)1( 3]14[ 222 ?=+?=++= ?=?= ss sssdsd 222 3 2 2 3 ])1( 3[ 2 1)()2( 2 1 ?=?= + ?=+= ss sds dsFs ds dk 2 3 2 )()2( ?=+= ssFsds dk 西南交通大学 222 3 2 2 3 ])1( 3[ 2 1)()2( 2 1 ?=?= + ?=+= ss sds dsFs ds dk 3)1( 621 23 ?=+= ?=ss 3)2( 4)()1( 1314 =++=+= ?=?= ss sssFsk 03)33( 33321)2( ]1323)2( 3)2( 2[)]([)( 22 2222 23 11 ≥+++?= +??= +++ ?+ + ?+ + ?== ?? ???? ?? teett eeteet- sssssFtf tt tttt L L