西南交通大学：电路分析：200507161202[26088]

西南交通大学 第十一章一阶电路 §11-2 电路的初始条件 西南交通大学 一、换路定则： 换路前瞬间记为 t = 0－ 换路时刻 t = 0 换路后瞬间 t = 0+ 对图1： )0()0( ?+ = cc uu 另推： ttt diCdiCdiCtu t cct cc ∫∫∫ ? ? +== ∞?∞? 0 0 111)( ∴ C为“记忆”元件。 图1 E + uc+ icRK(t=0) - C - dt duCi c c = 西南交通大学 电荷守恒 对图2：∵电感电流不能突变 tdiCu cc ∫ + ∞?+ = 01)0( 11 0 0 0 tt di CdiC cc ∫∫ + ? ? += ∞? )0()0( ?+ =∴ cc uu )0()0( ?+ = qq )0()0( ?+ =∴ LL ii ∫ ∫ ∫∫ ? ? ?∞? ?∞? +=+== 0 0 01)0(111 t t LLLLt LL duLiduLduLduLi tttt 另推： ∴电感也是记忆元件 ) ( 为有限值ciQ)0( ?= cu 西南交通大学 ∵ uL为有限值 ∫ +∞?+ = 01)0( tduLi LL )0()0( ?+ = LL ii∴ LLi=yQ )0()0( ?+ =∴ yy 磁链守恒 对于具有多个电容的结点（不含电压源）， 换路前后电荷守恒： )0()0( ?+ ∑∑ = qq )0()0( ?+ ∑∑ = cc CuCu即 )0( ?= Li ∫∫ +?? += ∞? 000 11 tt duLduL LL ∫ +?+= ? 001)0( tduLi LL 西南交通大学 如iL、iR、is均为有限值，则它们的积分均为零。 根据KCL 021 21 =+?+? scRLc idtduCiidtduC 0－～0＋积分： 00 02 0 0 0 0 0 01 0 0 21 =+?+? ∫∫∫∫∫ + ? + ? + ? + ? + ? dtidtdtduCdtidtidtdtduC scRLc 故 iR + uc1 - + uc2 - is iL 0)0()0()0()0( 2211 2211 =+?? ?+?+ cccc uCuCuCuC 西南交通大学 即 )0()0()0()0( 2121 2121 ??++ ?=? cccc uCuCuCuC )0()0( ?+ ∑∑ = cc CuCu所以 对于具有多个电感的回路（不含电流源），换 路前后磁链守恒： )0()0( ?+ ∑∑ = yy 即 )0()0( ?+ ∑∑ = LL LiLi 西南交通大学 R3 L2 + uc － + us － iL1 iL2 iR2 iR1 R1 R2 L1 C 根据KVL 01 2 2 21 13221 =+??+++ dtdiLiRdtdiLiRuuiR LLLRcsR 西南交通大学 0－～0＋积分： 01 2 2 21 1 0 03 0 02 0 0 2 0 0 0 0 0 01 0 0 =+?? +++ ∫∫∫ ∫∫∫∫ + ? + ? + ? + ? + ? + ? + ? dtdtdiLdtiRdtdtdiL dtiRdtudtudtiR L L L RcsR 如iR1、iR2、iL2、us均为有限值，则它们的积分均为零。 故有 0)0()0()0()0( 2211 2211 =+?? ?+?+ LLLL iLiLiLiL 西南交通大学 即 )0()0()0()0( 2121 2121 ??++ ?=? LLLL iLiLiLiL )0()0( ?+ ∑∑ = LL LiLi所以 电路中的初始条件由初始状态确定。 初始条件的确定： 初始条件：方程中变量在 时的数值（若为n阶方 程，还包括其1～（n – 1）阶导数），又称初始值。 += 0t 初始状态：电感电流iL、电容电压uc在 时的数 值。 ?= 0t 西南交通大学 例11－1：K闭合前，电路已达稳态。E=48V，R1=2W ，R2=2W，R3=3W，L=0.1H，C=10mF，求K闭合后瞬间 各支路电流及电感端电压。 + K (t=0)E + L C ucuL iL i3 il R 2 R3 R1 + - - - iL(0－) R1 48V uc(0－) + R2 R3 - + - 解：由0-等效电路先求 )0()0( ?? Lc iu 和 ARRiL 1244848)0( 21 ==+=? 根据换路定则 Aii LL 12)0()0( == ?+ Vuu cc 24)0()0( == ?+ 西南交通大学 0＋等效电路： ARuEi c 83 2448)0()0( 3 3 = ?=?= + + Ai 20812)0(1 =+=+ ViREu LL 2412248)0()0( 2 =×?=?= ++ 称为独立的初始条件。)0()0( ++ Lc iu 和 uc(0+) 48V + iL(0+) R2 R3 - + - il(0+) i3(0+) - +u L(0+) 西南交通大学 例11－2：K闭合前，C上无电荷，且电路处于稳态。 ， 求K闭合后一瞬间各元件上的电压及电容电流。 HLRRR 1,10,5,15 21 =?=?=?= VUFC 10010 == m iC uLuR1 i L i + － R1 LR CR2 U u ct=0 uR -+-+ + + --uR2 + - 解： 时：?= 0t ARRUiL 5515100)0( 1 =+=+=? 0)0( =+cu AiL 5)0( =+ 西南交通大学 ))0()0(()0( 2 +++ ?+= LiiRRiU 由0＋等效电路： i (0+) iL(0+)+ + uL(0+)R 1 R R2 U - - + - - -+ + u R(0+) uR1(0+) uR2(0+) iL(0+) i (0+) iC(0+) 解得 Ai 6)0( =+ AiC 1)0( =+ 西南交通大学 ViRu LR 25)0()0( 11 == ++ ViiRu LR 10))0()0(()0( 22 =?= +++ ViRRiUu LL 15)0()0()0( 1 ?=??= +++ 注意： )0()0( ?+ = cc uu )0()0( ?+ ≠ cc ii但 )0()0( ?+ = LL ii 但 )0()0( ?+ ≠ LL uu VRiuR 90)0()0( == ++ 西南交通大学 解：t<0时:电路处于稳态 uL ＋ － us uc＋ ＋ － － R1 R2 ic iLK t=0 C L 例11-3：图示电路中， us(t)=100sin500tV， R1=20Ω,R2=40Ω,C=100μF,L=0.04H,开关K闭合已很 久，t=0时开关K打开。求初始值iL(0+)、 。 采用相量法 +0dt diL 西南交通大学 AtiL )57.26500sin(236.2 o?= Vtuc )45500sin(71.70 o?= AiL 1)57.26sin(236.2)0( ?=?=? o Vuc 50)45sin(71.70)0( ?=?=? o ＋ － ＋ － 20Ω 40Ω -j20Ω j20Ω 100 0°V LmI ? cmU ? =+= j2040100LmI& A°? 57.26/236.2 =×= j20-20 100j20-cmU& V°? 45/71.70 西南交通大学 dt diLu L L =Q )0()0()()0( 12 +++ ++?= cLL uiRRu uL(0+)uc(0+) ＋ ＋ － － R1 R2 ic(0+) iL(0+) 250)0()0()()0(0 12 =++?==∴ ++++ L uiRRLudtdi cLLL 由0＋等效电路： 根据换路定则： Aii LL 1)0()0( ?== ?+ Vuu cc 50)0()0( ?== ?+ 西南交通大学 根据磁链守恒： )0()0()0()0( 2121 2121 ??++ ?=? LLLL iLiLiLiL 联立求解得 ??? ? ??? ? ? +=+ 2 2 1 1 21 )0( 1 R L R L LL Ui s L ??? ? ??? ? ? +=+ 1 1 2 2 21 )0( 2 R L R L LL Ui s L t=0+时： )0()0( 21 ++ ?= LL ii 例11-4：电路原处于稳态，t=0时开关K打开，求 iL1(0＋)、iL2(0＋)。 解： i L2 K t=0 - + Us R1 R2 L1 L2 iL11 )0( 1 R Ui s L =? 2 )0( 2 R Ui s L =?