西南交通大学 §13-3 拉普拉斯变换的性质 1. 线性叠加性 )()( 11 sFtf ? )()( 22 sFtf ? 那么 )()()()( 22112211 sFAsFAtfAtfA +?+ 例1：求 )(sin)(1 tttf ew ?= )()1()(2 teKtf t ea??= 的象函数。 西南交通大学 22 1 2 11 2 1 w w ww +=+??= sjsjjsj )]([L)( 22 tfsF = )](L[)](L[ tKetK tee a??= )( a a a +=+?= ss K s K s K 解： ? ? ? ?? ? ε??=ε?ω= ω?ω )( 2)]([sin)(1 tj eettsF tjtjLL 西南交通大学 2. 延时特性： )()()( sFttf ?e 则 0)()()( 00 stesFttttf ???? e 证明： [ ] ∫∞ ? ??ε?=?ε? 0 0000 )()()()( dtettttfttttf stL 00 0 0 0 )()( )()( 0 )( 00 stsst ts tt t st esFdefe defdtettf ??∞? +?∞ =?∞ ? == ?= ∫ ∫=∫ ? ?? tt tt t t t 西南交通大学 例2：求矩形脉冲的象函数 f (t) A T t0 = + A 0 t T －A t 0 )()()( TtAtAtf ??= ee ∴ )1()]([)( sTsT esAesAsAtfsF ?? ?=?== L 解： 西南交通大学 例3：求 )]([)( tfsF L= tt 00 f(t) E 解： [ ] )()()()( )()()( 000 00 0 0 ttEtttttEtttE tttttEtf ?????= ??= eee ee ])1(1[ 111)]([)( 0 00 0 0 2 2 0 2 0 st stst esttsE esEestEstEtfsF ? ?? +?= ????== L 西南交通大学 3、复频域位移 )()( sFtf ? )()( α+?α? sFetf t 证明： ∫∞ ?α?α? ? = 0 )(])([ dteetfetf stttL )()( 0 )( α+== ∫∞ α+? ? sFdtetf ts 例：已知 tetf t 02 sin)( ω= ? ，求 )(sF 解：∵ 2 0 2 0 0 ][sin ω+ ω=ω stL ∴ 2 0 2 0 )2()]([)( ω++ ω== stfsF L 西南交通大学 4、时域微分性质 )()( sFtf ? dt tdftf )()( =′ n n n dt tfdtf )()( = )0()(])([)]([ ??==′ fssFdttdftf LL )0()0()0()0()(][ 1221 ???????? ???′??= nnnnnn n fsffsfssFsdt fd LLL 西南交通大学 证明： ∫ ∞ ??= 0][ dtedtdfdtdf stL dtestfetf stst ?∞ ? ? ??∞= ∫ ? )()(0)( 0 dte)t(fs)(f st?∞? ∫ ? +?= 0 0 )()0( ssFf +?= ? 证毕 西南交通大学 对于二阶微分： ?? ? ?? ?= ?? ? ?? ? dt d dt fd dtdfLL 2 2 2 ()(0)(0)sFssff ??′=?? 对于n阶微分类推 0LL(0)t dfdfdfssf dtd dt?=? ???? ′=? ???????? [()(0)](0)ssFsff??′=?? 西南交通大学 例：应用导数性质求以下函数的象函数 )(cos)(1 tttf ew= )()(2 ttf d= 解：① 22)(sin w wew +? stt ∴ 1sin()L[cos()]L[]dtttt dt wewe w= 已知 西南交通大学 ② dt tdttf )()()( 2 ed == st 1)( ?e [ ] 0 ()L[()]L[] 1L()()01 t dtt dt sttss ed ee ?= = =?=??= 2222 0 ][1 ])(sin)]([sin[1 ω+=ω+ ω ω= εω?εωω= ?= s s ss tttts tL 西南交通大学 5、时域积分性质： s sFdft )()( 0 =?????? ξξ∫ ? L 证明： dttfesedfs dtedfdf ststt sttt )()1()(1 )()()(L 000 0 00 ∫∫ ∫ ∫∫ ∞ ?∞? ?∞ ??? ? ?? ?????????= ??????=?????? xx xxxx )(1)(1 0 sFsdttfes st == ∫ ∞ ? ? 证毕 西南交通大学 例：利用积分定理求下列函数的象函数 )()(sin 21 ttfttf eew ?== 解：① ∫ ?== to dtttf xwxwew cos)(sin)(1 22)(cos wew +? s stt [ ] 22221 )(cos)( ω+ω=ω+ω=εωω= ss ssttssF L 西南交通大学 ② ∫ ? =?= t dtttf 02 )()()( xxee ∴ [ ] ?????? ξξε=ε?= ∫ ? t dttsF 02 )()()( LL [ ] 2111)(1 sssts =?=ε= L 西南交通大学 6. 卷积定理： )()( 11 sFtf ? )()( 22 sFtf ? )()()()( 2121 sFsFtftf ?? ττ?τ=? ∫ ? dtfftftf t )()()()( 2 0 121 均为单边函数21, ff 西南交通大学 7、尺度展缩特性 若 )()]([ sFtf =L 则 0)(1)]([ >= aasFaatfL 证明： 0)()]([ 0 >= ∫∞ ? ? adteatfatf stL tt dadtat 1＝则令 = 上式 0 0 1() 11()()0 s a s a feda sfedFa aaa t t tt tt ? ? ?∞ ?∞ = ==> ∫ ∫ 西南交通大学 例：已知 tetf t 02 sin)( w?= ，求 )]2([,)]2([ tftf LL 解：由前例得 2 0 2 0 )2()]([ ω++ ω= stfL 2 0 2 0 2 0 2 0 4)4( 2 )22(2 1) 2(2 1)]2([ ω++ ω= ω++ ω== ss sFtfL 2 0 2 0 2 1 2 1 )22( 2)2(2)(1)] 2([ ω++ ω=== ssF sFtfL 西南交通大学 8、初值定理 在 [0, ￥)内，函数f (t)及其导数存在 )(lim)(lim)0( 0 ssFtff st ∞→=+ == + 例： 21 1)( ssF = ， ssF 1)( 2 = 则 0)(lim)0( 11 =?= ∞→+ sFsf s 1)(lim)0( 22 =?= ∞→+ sFsf s 西南交通大学 9. 终值定理 在 [0, ￥)内，f(t)及其导数存在 )(lim)(lim)( 0 ssFtff st →∞→ ==∞ 例： tetf 32)( ?= ，知 0)( =∞f 3 2)( += ssF 032lim)(lim)( 00 =+?==∞ →→ s sssFf ss