西南交通大学 §14-2 状态方程的建立 1、特有树又称特树、专树、常态树 它的树支包含了所有的电压源支路和电容支 路，它的连支包含了电路中所有的电流源支 路和电感支路。 2、利用特有树编写状态方程 步骤： cu Li①选状态变量：选 与作为状态变量。 一、方法1 西南交通大学 ④画出电容所在树支的基本割集，并写出KCL方 程。画出电感所在连支的基本回路，并写出KVL 方程。 ⑤消去非状态变量，并整理成标准形式（矩阵形 式）。 ⑥写出输出方程，并整理成标准的矩阵形式。 ②画出拓扑图，并选出特有树。每个元件作为 一条支路。 ③给支路编号并定向。支路电流与电压方向取关 联参考方向。 西南交通大学 例1：写出图示电路的状态方程和输出方程（输 出为ic1、ic2） is C1 C2 L R + + - - uc1 uc2 iL ic1 ic2 解：选uc1、uc2、iL为状态变 量，拓扑图及特有树如图 1 2 3 4 5 西南交通大学 is C1 C2 L R + + - - uc1 uc2 iL ic1 ic2 011 =?+ sLc iidtduC 0222 =+? RuidtduC cLc 012 =?+ ccL uudtdiL 西南交通大学 整理矩阵形式 []s L c c L c c i C i u u LL CRC C dt di dt du dt du ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0 1 011 110 100 1 2 1 22 1 2 1 输出方程： Lsc iii ?=1 R uii c Lc 2 2 ?= 写成矩阵形式 []s L c c c c i i u u Ri i ?? ? ?? ?+ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =? ? ? ?? ? 0 1 110 100 2 1 2 1 西南交通大学 例2 写出图示电路的状态方程 isC1 C2 L1 R1 + +- - uc1 uc2 iL1 + - us R2 C3 L2 iL2 + - uc3 1 2 3 6 5 4 7 8 9 解：①选 21321 ,,,, LLccc iiuuu 为状态变量 ②拓扑图、特有树（粗线）、支路编号及定向 ③画电容所在树支的基本割集，KCL 1 1 1 L c i dt duC = 西南交通大学 71 2 2 iidt duC L c ?= 72 3 3 iidt duC L c ?= 画电感所在连支的基本回路，满足KVL： 21 1 1 cc L uu dt diL ??= 83 2 2 uudt diL c L ??= isC1 C2 L1 R1 + +- - uc1 uc2 iL1 + - us R2 C3 L2 iL2 + - uc3 1 2 3 6 5 4 7 8 9 西南交通大学 7i 8u④消去非态变量 和 ： 22288 )( RiiRiu sL ?==][ 1 32 1 7 ccs uuuRi ++?= 代入上述式子写成矩阵形式： ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? s s L L c c c L L c c c i u L R CR CR i i u u u L R L LL CCRCR CCRCR C dt di dt di dt du dt du dt du 2 2 31 21 2 1 3 2 1 2 2 2 11 33131 22121 1 2 1 3 2 1 0 00 01 01 00 0100 00011 10110 01110 01000 西南交通大学 例3：写出图示电路的状态方程 C1 C2 L R1 + + - - uc1 uc2iL us R2 is - + R3 1 2 3 65 4 7 8 解：选 Lcc iuu ,, 21 为状态变量 西南交通大学 ? ? ? ? ?? ? ? ? =??+ =++ =?+ 0 0 0 26 4 2 2 4 1 1 cs L L c s c uuudtdiL iidtduC iidtduC 消去非状态变量i4和u6： LiRu 36 = C1 C2 L R1 + + - - uc1 uc2iL us R2 is - + R3 1 2 3 65 4 7 8 但i4的表达式不易求得。 西南交通大学 方法：电容用电压源替代，电感用电流源替代， 然后利用等效电路，求出i4的代数表达式。 R1+ + - - uc1 uc2i L us R2 is - + R3 i4 i4 is iL 利用回路法求i4： 0)( 422411 =+??+? iRuiiRu csc ∴ )(1 121 21 4 scc iRuuRRi +++= 西南交通大学 代入微分方程中 整理成矩阵形式： 若输出方程不易直接写出，也可以通过上述等 效电路来求。 ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? + + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?+?+? +?+? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? s s L c c L c c i u L RRC R RRC R i u u L R L CRRCRRC RRCRRC dt di dt du dt du 0 1 )(0 )(0 1 0 1 )( 1 )( 1 0 )( 1)( 1 212 1 211 2 2 1 3 2212212 211211 2 1 西南交通大学 二、方法2 电容用电压源替代，电感用电流源替代，求 出iC、uL。 例4：写出图示电路的状态方程 C1 C2 L R1 + + - - uc1 uc2iL us R2 is - + R3 西南交通大学 解：选 Lcc iuu ,, 21 为状态变量 R1+ + - - uc1 iL us R2 is - + R3 iC1 iL 替代后的电路如图，求iC1、iC2、uL - uc2 + uL iC2 iC1 is 西南交通大学 0)( 212111 =+?++ csccc uiiRuiR sccc iRR Ru RRuRRi 21 2 2 21 1 21 1 11 +++?+?= R1+ + - - uc1 iL us R2 is - + R3 iC1 iL- uc2 + uL iC2 iC1 is sLccsLcc iRR Riu RRuRRiiii 21 1 2 21 1 21 12 11 + ?+? +?+?=??= 西南交通大学 scc c i RR Ru RRuRRdt duC 21 2 2 21 1 21 1 1 11 +++?+?= sLcc c i RR Riu RRuRRdt duC 21 1 2 21 1 21 2 2 11 + ?+? +?+?= sLcL uiRuu +?= 32 sLc L uiRu dt diL +?= 32 西南交通大学 ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? + + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?+?+? +?+? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? s s L c c L c c i u L RRC R RRC R i u u L R L CRRCRRC RRCRRC dt di dt du dt du 0 1 )(0 )(0 1 0 1 )( 1 )( 1 0 )( 1)( 1 212 1 211 2 2 1 3 2212212 211211 2 1