习题5.1 回答下列问题： 给定集合，则，，， 各是一些什么样的集合？ 下列关系是否成立： 的聚点和孤立点各是一些什么样的点，除此之外有没有第三种点？的聚点是否一定在中？的孤立点是否一定在中？ 什么是开集，什么是闭集，为什么和既是开集又是闭集？有没有不开不闭的集合？ 怎样用闭包或极限点来表达闭集的概念？ 是闭集的充要条件且，对否？为开集的充要条件为=对否？ 柯西不等式中，等号在什么条件下成立？ 举例说明满足=0的点列{}不一定是基本列。 设{}是中的点列，证明若{}收敛，则其极限是唯一的。 证明：在中，如果点列{}收敛于，那么它的任一列{}亦收敛于。 证明：=。 证明是闭集的充要条件为是完备的，即中的基本列一定收敛于中某点。 设=，叫做投影算子，证明若是开集，则是中的开集。 设为8题中所定义的投影算子，证明是紧集，则也是紧集。 10．证明为紧集的充要条件为若是中的一个闭集族，且，则有使 习题5.2 确定并给出下列函数的定义域 （1）； （2）； （3） ； （4）. 2. 求下列极限 （1）； （2）； （3）； （4）. 3. 讨论下列函数在点（0，0）的二次极限和二重极限 （1）； （2）. 习题5.3 讨论下列函数的连续性 （1）（[ ]表示整数部分）； （2） 叙述二元函数的局部保号性. 设 讨论在（0，0）的连续性. 习题5.4 回答下列问题 何谓偏导数？偏导数与一元函数的导数有什么关系？ 多元函数的连续性、偏导数的存在性及可微性之间有什么关系？其与一元函数的相应关系有什么区别？ 二元函数的两个混合偏导数在什么条件下相等？如何将这个命题推广到多元函数的高阶混合偏导数？ 计算下列偏导数： 设，求； 设，求； 设，求； 设，求. 求下列函数的偏导： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7） ； （8）； （9）； （10） ； （11）. 设 求与. 5.设 讨论函数在原点附近的连续性、偏导数的存在性及可微性. 6.求下列函数的全微分： （1）； （2） （3） ； （4）； （5）； （6），求 7. 求下列函数的高阶偏导数： （1） ，求所有的二阶偏导数； （2），求； （3），求； （4），求； （5），求； （6），求. 8. （1）设，验证：； （2）设，验证：. 9. 求下列函数在给定点的全微分： （1）， （0，0），（1，1）； （2）， （1，0），（0，1） （3） （0，0），； （4）， （0，1），（1，1）； （5），（1，2，1）. 10. 证明函数在点（0，0）连续但偏导数不存在. 11.试证在原点（0，0）的充分小邻域内，有  12.设.证明： . 13. 设 证明：. 设， 为常数，，证明： . 习题5.5 回答下列问题： 什么是复合函数的链式法则？其在什么条件下成立？ 什么是多元函数全微分的形式不变性？高阶全微分是否也有这种不变性？ 求下列复合函数的偏导数或导数： 设，求； 设，求； 设，.，求； 设求；  求.  求； 证明：函数，其中为任意可微函数，满足方程 . 设，证明： =. 设而，求证： . 设 满足条件： （1）； （2）； 求：. 求下列复合函数的一阶全微分和一阶偏导数（先求全微分）. （1）； （2）； （3）； （4）； （5）. 设由行列式表示的函数：  其中的导数都存在，证明：  证明：函数 （为常数）满足Laplace方程 . 证明：若满足Laplace方程（参看上题），则函数 也满足此方程. 习题5.6 回答下列问题： 二元函数的变化率和一元函数的变化率有何区别？什么是方向导数？ 方向导数与偏导数有何关系？ 什么是梯度？梯度是一个向量，其方向和模分别有什么意义？ 求下列函数在指定点和指定方向的方向导数： （1）在点（1，1，2）处沿方向（其方向角分别是）. （2）在点（1，0，1）沿到点（3，—1，3）的方向. （3）在点（1，1，1）沿方向（2，—1，3）的方向. 3.求在点（1，1）处沿方向的方向导数 并进一步求： 在哪个方向上其导数有最大值？ 在哪个方向上其导数有最小值？ 在哪个方向上其导数为0？ 求的梯度. 4. 求函数在点处的梯度及其模. 证明：若可微，且，，互相垂直，则 = 求函数在点及梯度间的夹角. 设，，证明：. 设函数，其中，求的梯度，并指出在空间中哪些点上成立. 设函数，问：在坐标原点处沿哪些方向的方向导数存在？ 证明：（1），其中都是常数； （2）； （3）. 设可微，与是上一组线性无关向量，试证明：若，则常数. 求在点（1，4）的Taylor公式（到二阶为止），并用它计算. 复习题5 设，证明：. 求函数在原点的偏导数与并考察在（0，0）的可微性. 设 问：在坐标原点处沿哪些方向的方向导数存在？ 设求证：在坐标原点处各个方向导数存在，但在原点处不可微. 设函数具有连续的阶偏导数，试证函数的阶导数  设在点的某邻域内存在且在点）可微，则有 . 对于函数，试证 . 设， 求：（1）；（2）；（3）. 求曲面与平面的交线在处的切线与轴的交角.