数学分析习题集锦（二）：习题8

习题8.1 计算由曲线
及直线
轴所围成的曲边梯形的面积。 将区间
等分，并取每个小区间的中点的坐标作
的值，试写出函数
在此区间上的黎曼值，并求出
时此和的极限。 按定积分定义证明：
4．证明：
存在的充要条件是：对任意一列积分和
只要
都有

是指
对某一分割
及所属的某一介点集所做的积分和。 习题8.2 设
都是定义在
上的有界函数,证明：若仅在
上有限个点
处
，则当
在
可积时，
也在
上可积，且：
. 证明：有界函数
在
上可积的充要条件是：对任意规定正数
存在某一分割T使得属于T的所有振幅
的小区间
的总长度不超过
. 设

证明:
在闭区间
上可积,但
在
上不可积. 设
在
上有界,
证明：若
在
上只有
为其间断点则
在
上可积。 习题8.3 比较下列各题中积分的大小： （1）
（2）
（3）
（4）
2．证明下列不等式： （1）
（2）
（3）
（4）
3．证明：若
且不恒为零，则
. 4．设
上连续，且
. 5．举出
可积，但
不可积的例子. 6．证明
7．设
可积，且在
上也可积。 8．函数
上连续，且满足：
则
内至少有两个零点。
习题8.4 设
上连续，
证明
若
连续，求： （1）
（2）
求下列极限： （1）
（2）
计算下列定积分 （1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
（14）
（15）
（16）
（17）
（18）
（19）

（20）
设
是周期函数且连续，周期为
，证明：
其中
是正整数。 设
为所示区间上的连续函数，证明： （1）
（2）
且由此计算：
证明：
证明：若
上的连续函数，则
应用定积分求下列极限 （1）
（2）
（3）
（4）
复习题8 若
则
也为
内的递增函数。 若
在
上连续，且
，则
在
内严格递增。 设
在
上连续，且
证明：连续奇函数的一切原函数皆为偶函数，连续偶函数的原函数中有一个奇函数。 证明许瓦尔兹（Schwarz）不等式：若
上可积，则
用上题的结果证明 若
在
上可积，则
若
在
上可积，且
则
设
上可积，证明
上也可积。 设
在
连续，且对
上任一连续函数
，证明
。 若
为所在区间上的连续，则 （1）
（2）
（3）