习题12.1 计算下列第一型曲线积分 （1） 其中L是以为顶点的三角形； （2）， 其中L为椭圆的第一象限中的部分； （3），其中L是摆线的限，即对应于的那一段； （4），其中L为圆锥线上对应于的那一段； （5），其中L是曲线：的一段； （6），其中L是与相交的圆。 2．设有一曲线，其方程为，其上每点的线密度正比于该点横坐标的5次方，是求其质量。 3．求下列第一类型曲面积分 （1）其中是上半球面 （2）其中S为四面体的边界； （3），其中S为平面在第一象限中的部分； （4），其中S为圆锥面被曲面所割下的那部分； 4．证明等式：  其中S是单位球面： 5．证明：若函数在光滑曲线上连续，则存在使得：  其中的长。 习题12.2 计算下列第二型曲线积分 （1）：其中L为： 直线段； 抛物线  抛物线 折线； 折线 （2）为抛物线 （3）其中为摆线沿增加方向的一段。 （4）其中为与轴所围的闭曲线，依顺时针方向。 （5）其中是从原点的直线段。 （6），其中为圆周依逆时针方向。 设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比，若质点沿椭圆移动到，求力所做的功。 证明下面的估计式：  其中是积分路径的弧长， 习题12.3 应用格林公式计算下列曲线积分 （1） 其中为圆周的正向； （2） 其中是以为顶点的三角形，方向为顺时针方向； （3） 其中为区域：的边界，方向为逆时针方向； （4） 其中为由点到点的上半圆周为常数。 利用曲线积分计算下列闭曲线所围成的面积 （1） （2） 验证下列积分与路线无关，并求它们的值。 （1） （2） （3）沿不通过原点的路径， （4） 其中为连续函数。 求下列全微分的原函数 （1） （2） （3） （4） 5．为了是积分与积分路径无关，则可微函数应满足怎样的条件？ 6．设函数具有一阶连续导数，证明对任何光滑闭曲线有：  习题12.4 计算下列第二型曲面积分 （1）平面上圆的下侧； （2）六个平面所围的正方体并取外向为正向； （3）其中S是四面体：的外侧； （4）其中S是球面的上半部分并取外侧。 （5）为连续函数，S是立方体：的外侧。 设某流体的流速为为常数，求单位时间内从球面的内部流过球面的流量。 习题12.5 应用高斯公式计算下列曲面积分 （1）其中S是立方体的外表面。 （2）其中S是单位球面的外侧。 （3）其中S是单位球面的外侧。 （4）其中S是由所界定的半球区域的外侧。 应用斯托克斯公式计算下列曲线积分 （1）其中L为圆周方向是逆时针方向。 （2）其中L为 习题12.6 求在点的梯度,并求梯度为零的点. 证明: (1) (2)  求 (1) (2). 证明(1) (2) 其中F,G是向量, 是标量 5. 求(1); (2). 6.计算下列向量场的散度与旋度 (1) (2); (3). 下列向量场是否是保守场(有势场)?若是则求其势函数 , , . 设流速为常数)求沿以下曲线的环流 (1); (2)+,. 9.设   计算其中为螺线，，； 设求； 问在什麽条件下，有势场， 并求势函数。 复习题12 1．求质量分布均匀的摆线 的重心。 2．有一质量分布不均匀的半圆弧，其线密度为常数），求它对原点处质量为的质的引力。 计算第一型曲面积分 为立体边界曲面 4．计算第二型曲线积分 为圆周，依逆时针方向。 设一质点受力作用，力的方向指向原点，大小与质点到平面的距利成反比，若质点沿直线，从，求力所做的功。 利用格林公式计算双纽线：所围面积。 求全微分的原函数。 求第二型曲面积分 其中为球面并取外侧为正侧。 利用高斯公式计算 S是上半球面的外侧。 10.若是平面上的闭曲线，它所包围区域的面积为，求  其中依正向进行.