试题八 一. 均值为零、双边功率谱密度为 0 N 2 的高斯白噪声 ( ) w nt 输入下图所示系统 其中BPF和LPF是幅度增益为1的理想带通滤波器和理想低通滤波器。BPF的中心频率是 c f ， 带宽是2B，LPF的截止频率是B。请： (1) 求输出噪声的均值和功率； () o nt (2) 求输出噪声的功率谱密度。 () o nt 二. 在双边功率谱密度为 0 N 2 的加性高斯白噪声干扰下，请对如下信号： () 0 0 tT t T st else ≤ ≤ ? = ? ? 设计一个匹配滤波器。请 (1)写出匹配滤波器的冲激响应 ( )ht ，并绘出图形； (2)求出经过匹配滤波器的输出信号 ()st ( )yt ，并绘出图形； (3)求最大输出信噪比。 三．某调角系统如下图所示： 已知调相器的调相灵敏度（相位偏移常数）为 5 P K = 弧度/伏，倍频器输出是 () ( ) 5 2 100cos 2 10 10sin 4000s tttπ π=×+ 1/7 请： (1)说出对于而言，和 () mt () 1 st ( ) 2 st 是调相波还是调频波？ (2)写出已调信号及调制信号 () 1 st ( ) mt 的表达式； (3)求出、的最大相偏、最大频偏及带宽； () 1 st () 2 st (4)求出的平均功率。 () 2 st 四．某二进制单极性无码间干扰传输系统中出现“1”的概率为q，接收端采样点的高斯噪声 方差为 2 σ 、均值为0。设发“1”对应的采样电平为A，求最佳最佳判决门限 V d * 及相 应的误码率。 P e 五．一个理想低通滤波器特性信道的截止频率为6kHz。 (1) 若发送信号采用8电平基带信号，求无码间干扰的最高信息传输速率？ (2) 若发送信号采用3电平第I类部分响应信号，重求无码间干扰的最高信息传输速率？ (3) 若发送信号采用 5.0=α 的升余弦滚降频谱信号，请问在此信道上如何实现24kbps 的无码间干扰的信息传输速率？请画出最佳基带通信系统的框图。 2/7 试题八参考答案 一. 解： (1)BPF输出的噪声可写为 () () ( ) cos 2 sin 2 ccs nt n t ft n t ft c π π=? ， ( ) ( ) ( ),, cs nt n t n t 都是0均值的平稳高斯过程，其功率均为。 0 2NB ( ) nt 与 cos 2 c f tπ 相乘， 再经过LPF后的输出是 () () 1 2 oc nt nt= ，其均值为0，功率为 0 2 NB 。 (2)很明显，的功率谱密度 () nt o ( ) Pf o 在 f B≤ 内是常数，在 f B> 处是0，即 () 0 o x fB Pf else ? ≤ = ? ? () o Pf 的面积就是的功率，因此有 () o nt 0 2 2 NB Bx = ， 0 4 N x = 。所以 () 0 4 0 o N f B Pf else ? ≤ ? = ? ? ? 二. 解： (1)匹配滤波器的冲激响应为 () ( ) 0 ht st t=? ，考虑物理可实现性及时延最小，取。于 是有 T t = 0 () 10 0 tT t T ht else ? ≤≤ ? = ? ? 其波形为 (2)经过匹配滤波器的输出信号为 ()st 3/7 () ( ) () ()( ) ( )() 0 0 0 T T T yt st h d st sT d sx T tsxdx τττ τ ττ =? =?? =?+ ∫ ∫ ∫ 当或者时，； 0t ≤ 2tT> () 0yt= 当时， 0 tT<≤ () () 2 2 3 6 T Tt xxTt t yt dx T t TT T ? ?+ =× = ? ∫ 当时， 2Tt T<≤ () ()() 2 2 0 2 6 tT tTtT xxTt yt dx TT T ? ? + ?+ =× = ∫ (3)的能量为 ()st 2 0 3 T tT Edt T ?? = = ?? ?? ∫ ，所以最大输出信噪比为 00 22 3 E T NN γ == 。 三. 解 (1)对于而言，和是调频波 ()mt () 1 st () 2 st (2)和是倍频关系，不考虑倍频器的幅度增益，则 ()st 2 1 ()st () 5 4 1 2 10 10sin 4000 1 cos cos 10 sin 4000 20 2 tt st t t ππ π π ??×+ ?? ==+ ???? ?? ?? 另外 () () ( ) () ( )1 cos2 cos2 5 tt cP c st ft K m d ft m dπ ττ π ττ ?∞ ?∞ =+ =+ ∫∫ 故此 () 1 sin 4000 5 2 t tmdπ ττ ?∞ = ∫ 于是 4/7 ( ) 400 cos 4000mt tπ π= (3)的最大相偏是0.5弧度，最大频偏是 () st 1 1 max sin 4000 2 1000Hz d t dt π ?? ?? ?? ?? ?? ?? = 2π 。 由倍频关系得： ( ) 2 st 的最大相偏是10弧度，最大频偏是20kHz。 () mt 的频率是2000Hz，由卡松公式， ( ) 1 st 的带宽近似为 ( ) 2 1000 2000 6000Hz+= ， ( ) 2 st 的带宽近似为。 () 2 20000 2000 44000Hz+= (4) 的平均功率为 ()st 2 () 2 100 5000= 2 W。 四. 解： 由于是单极性二进制系统，所以接收端的采样值可以表示为 yxn= + 其中 { },0x A∈ ， ( )Px A q== ， ( ) 2 ~0,nN σ 。 (1)求最佳判决门限 按MAP准则判决，先计算后验概率： () ()( ) () () () 2 2 2 2 | | 2 yA Px Apyx A q Px Ay e py py σ πσ ? ? == == = () ()( ) () () 2 2 2 2 0|0 1 0| 2 y Px pyx q Px y e py py σ πσ ? == ? == = 对数后验概率比为 () () () () 2 2 2 2 2 2 22 2 | ln ln ln 0| 1 2 1 yA y Px Ay qe q yA A Px y q qe σ σ σ σ ? ? ? = ==+ =? ? ? 最佳判决门限是MAP准则的分界点，即 d V ? 2 22 ln 0 12 d VAqA q σσ ? + ?= ? 5/7 因此： 2 ln 21 d Aq V Aq σ ? =? ? (2)求无码率 发送“1”而判决出错的概率为 ()( )( ) 2 | 1 erfc 2 2 1 erfc ln 2182 dd d Py V x A Pn AV AV Aq qA σ σ σ ?? ? <==<?? ?? ? = ?? ?? ?? =+ ?? ? 发送“0”而判决出错的概率为 ()( ) 2 |0 1 erfc 2 2 1 erfc ln 21 82 dd d Py V x Pn V AV Aq q A σ σ σ ?? ? >==> ?? ? = ?? ?? ?? =? ?? ? 平均错误率为 ()()( ) |1 1 erfc ln erfc ln 212 82 82 ed d P qPy V x A qPy V qA q qA q qq AA σσ ?? =<=+? > ???? =+ + ? ??? ?? ??? 1 ? ? ? 五. 解： (1)最高的符号速率为符号/秒 3 21210 s RB==× 最高的信息速率为比特/秒。 3 2 log 8 36 10 bs RR==× (2)最高的符号速率符号/秒，每个3电平符号传送 1bit的信息，所以最高 的信息速率为12×10 3 21210 s RB==× 3 比特/秒。 (3)采用 0.5α = 的升余弦滚降频谱时，带宽和符号速率的关系是 ()1 2 s R B α= + ，因此符号 速率为 3 21210 8000 11.5 s B R α × == = + 符号/秒。为了实现24 kbps的无码间干扰传输，每符号 携带的比特数应当为 = 8 24 3，所以每符号的电平数应为，即采用8PAM。 8== 2 3 M 最佳基带通信系统的框图如下： 6/7 7/7