北京邮电大学 2005——2006 学年 第 2 学期《通信原理II》期末 考试（A卷）参考答案 一．简答题（每题6分，共30分。要求有简单说明） (1)已知某线性分组码的最小码距是15，问该码用于纠错时能保证纠正几位错？用于检错时能 保证检出几位错？将该码的两个不相同的码字相加，结果最少有几个1？ 答：最小码距是15，故可保证纠正7位错，保证检出14位错。 因为是线性码，相加的结果还是码字，两个不同的码字相加，结果是非全零码字，故最少有 15个“1”。 (2)某多径衰落信道的相干带宽是 c B，在这个信道上发送两个带宽均为B，载波频率分别为 1 f和 2 f的BPSK信号。收端观察到这两路BPSK都没有明显的码间干扰，且两路的接收信噪比 呈现为独立的随机变量。请问， 12 B ff Δ = ?、B和 c B三者中谁最大？谁最小？ 答：无ISI，故发送信号相对于信道相干带宽是窄带；接收信噪比独立，说明载波间隔相对于 相干带宽很大，因此 c B BB Δ <<。 (3)某系统的设计中，发送端采用直接序列扩频，接收端采用了RAKE接收。请问这样的设计 更适合于单径衰落信道还是多径衰落信道？ 答：RAKE设计目的是为了合并多个可分辨径上的有用信息，因此它更适合多经衰落信道 (4)将(7,4)汉明码的编码结果按行写入一个10行7列的存储阵列，每行一个码字，一共是10 个码字。再按列读出后通过信道传输。若传输这10个码字时，信道中发生了连续15个错 误，请问接收端解交织并译码后，能译对几个码字？ 答：（7,4）汉明码可以纠正1位错。错误数大于1必然译错。通过交织的方法，15个连续错 分散到10组码字之中，其中有5个码字有两个错，5个码字有1个错。故可以译对5个码字。 (5)假设某CDMA系统用矩阵 11 1 1 11 1 11111 111111 1 111 11 ??? ?? ?? ??? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? 的每一行作为一个用户码，第1~4 行分给用户1~用户4。请问此CDMA系统中，用户1和用户2、3、4中的哪一个是正交的？ 答：可以验证出第一行和第三行正交，和第2、4行不正交，故用户1和用户3正交。 二．（10分）将n路模拟话音信号分别按8kHz速率采样，再进行A律十三折线编码，然后时 分复用为一路。求总速率R与n的关系。将这些数据通过一个带宽为B=640kHz的AWGN（加 性白高斯噪声）信道传输，信号带宽内噪声的双边功率谱密度为 0 2N，其中 4 0 10 32N ? =。 (a)请写出正确传输这些数据最少需要的发送功率P。 (b)假设系统要求 0 PB N≤。请问此时最多可以传输多少路话音？ 解：A律编码，一个抽样用8bit编码，64kbpsRn= ×。 0 2NB=。 (a) 2 0 log 1 P RCB NB ?? ≤= + ?? ?? ，故 2 64 640log 1 2 P n ?? ×≤ + ? ?? ? ，所以 1 10 22 n P + ≥?。 1 (b)若要求 0 PB N≤，则 0 22 00 log 1 log 1 NBP CB B B NB NB ???? =+≤+= ???? ???? 64 640×≤，n， 所以最多可传输10路话音。 三．(10分)某分集系统有两个接收天线，已知这两路的接收信噪比 1 γ和 2 γ是独立同分布的随 机变量，其概率密度函数均为( ) ,pe γ γγ ? 0= ≥。如果只从一个天线接收（无分集），请问接 收信噪比低于0dB（即1γ ≤）的概率是多少？若从两路接收，合并方式是输出信噪比最大 的一个，那么输出信噪比低于0dB的概率是多少？ 1 P 2 P 解： 11 1 00 1 () 1Ppd ed e γ γγ γ ? ===? 2 ∫∫ ， 2 2 21 1 1PP e ?? ==? ?? ?? 四．(10分)已知某(7,3)循环码的生成多项式是( ) 432 1gx x x x= +++。 (a)请画出系统码的编码器框图； (b)写出信息100、010、001对应的编码结果； (c)写出该码的生成矩阵。 解：(a) (b)如果按此图编码，结果是1001110，0100111，0011101。 也可直接按的倍式做，即用信息多项式()gx ( )ux乘以( )gx得( )()uxgx，结果是1110100、 0111010、0011101。 (c)系统码的生成矩阵是 1001110 0100111 0011101 ?? ?? ?? 也可以写成非系统形式。 1110100 0111010 0011101 ?? ?? ?? 五．(10分)已知某（7,4）码的生成矩阵为 1110010 1000110 0010101 1011000 G ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? (a)写出该码中所有这样的码字，其前两个比特是11； (b)将G转化为系统形式；（要求：只能是行变换，并且系统位在左边） (c)写出该码的校验矩阵H。 (d)求接收向量的伴随式。 [1101011]=R 解：(a)1100111、1101100、1110010、1111001 (b) 1000110 0100001 0010101 0001011 ?? ?? ?? (c) 1010100 1001010 0111001 ?? ?? ?? (d)或 () 111 T H==sR ()111 T T H==sR 六．(10分)右图是某卷积码格图的一段，图中左边数字是到达该状态的幸存路径的累积度量， 图中实线/虚线分别表示编码器输入的信息比特是0/1，线旁边的数字（如01）表示对应的编 码器输出。 (a)请求出下一步到达到达状态a的幸存路径，此幸存路径可能的累积路径度量值； (b)假设编码器的初始状态是a，请写出信息11000对应的编码结果。 解：(a)下一步到a只能是a到a或者c到a。a到a累积度量至少是5，c到a累积度量至多是 4。因此下一步到a的幸存路径一定是c到a。依据此段译码器输入之不同，累积度量可能为 接收序列为00时，累计度量值4 接收序列为01时，累计度量值3 接收序列为10时，累计度量值3 接收序列为11时，累计度量值2 (b)1 101011100 七.(10分)已知H是Hadamard（哈达玛）矩阵，其元素取值于1±。B是H的逆矩阵，请证明： (a)（代表的转置）； T =HH T H H (b)若，则H的第i行与B的第j行正交。 i≠ j 证明：（a） (1)，故 2 11 11 H ?? = ?? ? ?? 22 T H H= (2)如果 T N N H H=，则 T NN NNT NN NN HH HH HH HH ???? == ???? ?? ???? = 由（1）（2）可知： T =HH (b)令 ( ) ij B b=，。因为 () ij Hh= B HI=i， T HH=，所以 T B H 3 I=i，此即 1 0 N jk ik k ij bh = ≠ = ∑ i， 故H的第i行与B的第j行正交。 八．(10分)下图示出了一个线性反馈移存器序列，其输出序列是{ } k a。已知 。 ()( 0123 1000aaaa = ) (a)请写出{ } 415 aanull。 (b)此序列是否为m序列？ (c)请写出此序列发生器的特征多项式 ( ) f x 解： (a)，故 1kk k aa a ? =+ 4? 430 011aaa= +=+=，类似可得 { } 415 aanull为 1111010110 01 (b)输出序列的周期为15，题目中给出的移位寄存器序列的最长周期为15，故此序列为m序列 (c) 4 () 1f xx=++x 4