第 9 章 量子力学基础 思考题解答 1. 试用复数来表示驻波。 解： 驻波可由振幅相同而方向相反的两个平面波重叠而成。设沿正 反方向传播的两个平面波用复数表示的波函数分别为 )]/i( πexp[2 01 tx νλψΨ += )]/i( πexp[2 02 tx νλψΨ ?= 叠加后的波函数为 )] i π2exp() i π2)[exp(/i π2( 021 ttx ννλψΨΨΨ ?+=+= )2cos()() πcos(22)/i πexp(2 0 txtx πνψνλψ =?= (1) （注意 ααα cos2)iexp()iexp( =?+ ）可见振幅随 x 变化， )/i πexp(22)( 0 λψψ xx = (2) 式 (1)为用复数表示的驻波的波函数，式 (2)为用复数表示的驻波的振幅。 2. 为什么说波粒二象性是统计规律，而不确 定原理是二象性的必 然结果。 解： 微粒在空间的运动并没有确定的轨迹。例如在电子衍射中，单 个电子出现在荧光屏上的位置是不确定的， 只有当大量电子同时运动或 单个电子重复多次才出现衍射环纹，即电子在空间一定的概率分布。因 此，这种微粒的波动性是大量粒子运动的统计结果。正是由于微粒在空 间的运动具有波动性，如果波长一定即动量一定，则坐标无法确定；如 果坐标完全一定， 则必须由无穷多个不同波长的波叠加， 动量就不确定； 也就是它的坐标和动量不能同时确定，即为不确定原理。 3. 宏观物体的状态是如何描述的，力学量与状态的关系是怎样的。 微观粒子的运动状态又是如何描述的，力学量 与状态的关系又是怎样 · 156· 思考题和习题解答 的。 解： 宏观物体的状态是用坐标和动量描述的，状态的变化遵循牛顿 力学。力学量与状态（坐标和动量）间具有确定的函数关系。微观粒子 的状态是用波函数来描述的，状态的变化遵循量子力学。每一个力学量 F 都对应着一个算符 F ? ，力学量的统计平均值 F 与状态（波函数 Ψ ） 的关系由下式计算 τΨΨ d ? * FF ∫ = 。 4. 为什么波函数必须是品优函数。 解： 品优函数要求函数是单值的、对坐标是连续可微的、并且是平 方可积的，即函数平方对全空间积分是有限的。波函数是描述粒子运动 状态的函数，是薛定谔方程的解，必须满足有关物理意义和数学要求。 波函数的平方代表粒子在空间某处的概率，概率有确定值，因此波函数 一定是单值函数；空间的概率和必为有限值，因此波函数平方对空间积 分必定是有限值；薛定谔方程是波函数对坐标的二阶偏微分方程，因此 要求波函数连续可微， 因为只有波函数和波函数对坐标的一阶偏导数连 续，才能保证其二阶偏导数存在。 5. 力学量算符的本征函数是否就是波函数。 解： 力学量算符的本征函数不一定是波函数。 只有与哈密顿算符 H ? 可以对易的力学量算符的本征函数才是波函数。例如动量算符 x p? 与 H ? 不可对易，它的本征函数就不是波函数，而动量平方算符 2 ? x p 与 H ? 可对 易，波函数就是它的本征函数。 6. 微观粒子的波函数与经典波函数有什么 不同。试从振幅与能量 的关系，波的叠加等方面进行讨论。 解： 微观粒子的波函数与经典波函数有类似之处， 但也有原则差异。 首先物质波振幅的平方正比于粒子在空间的强 度以及在空间出现的概 率密度，而经典波振幅的平方只代表波的强度。再从波的叠加来说，虽 然两者都遵循波的叠加原理，但也有差别。经典波叠加后，形成新的状 态， 具有新的能量。 而物质波叠加后， 一般形成了一种混合状态， 由 1 ψ 、 第9 章 量子力学基础 · 157· 2 ψ 等叠加为 ψ 后，它一般不再是薛定谔方程的本征函数， 当测量该混 合状态的能量时， 我们将不能得到单一的能量， 而是可能得到 1 E 、 2 E 等 之中的任一个。得到任一个 i E 的概率正比于 i ψ 在 ψ 中所占的比重。 7. 势箱中粒子的平动有一定的速度，但波函数又出现节点或节面， 为什么。 解： 对粒子在势箱中的平动求解薛定谔方程，得到平动能级和平动 波函数。一定的能级意味着一定的能量，相应有一定的动量。正因为动 量一定，按不确定原理，位置就不能确定，只能说粒子以不同概率出现 在不同位置上。得到的波函数正是位置的函数，它的平方表明了粒子在 各种位置上出现的概率，而出现节点或节面则 表示该处出现的概率为 零。这是微观粒子的运动不同于经典粒子之处。 8. 什么是隧道效应。 解： 在势垒一边平动的粒子， 当动能小于势垒高度时， 按经典力学， 粒子是不可能穿过势垒的。对于微观粒子，量子力学却证明它仍有一定 的概率穿过势垒，实际也正是如此，这种现象称为隧道效应。对于谐振 子，按经典力学，由核间距所决定的位能决不可能超过总能量。量子力 学却证明这种核间距仍有一定的概率存在，此现象也是一种隧道效应。 9. 氢原子和类氢离子中电子的运动和线型刚 性转子的运动有什么 联系。对于线型刚性转子， Y lm, (,) 2 θφ 的物理意义是什么。 解： 氢原子和类氢离子中电子的轨道波函数可 分为两个部分， ()( )()φθφθψ ,,, ,,,, mllnmln YrRr = ， ( )rR ln, 为波函数的径向部分， ( )φ θ, ,ml Y 为 波函数的角度部分， 后者与线型刚性转子的转动波函数 ( )φ θ, ,mJ Y 形式完 全一样。 对于氢原子和类氢离子， ),( 2 , φθ ml Y 代表电子在空间的角度分布； 而对于线型刚性转子， ),( 2 , φθ mJ Y 代表转动的转子在空间不同角度出现 的概率。 · 158· 思考题和习题解答 10. 径向分布函数定义为 Rrr 22 () ，有的书上用 )( π4 22 rr ψ ，两者 一致吗。 解： 9.10 节的式 (9-185)已证明，径向分布函数 ( ) ( ) 22 rrRrD = 即 r 处 壳层的概率密度 rP d/d 。如果是 s 轨道，由表 9-3 可见 2/1)( 0,0 =θΘ ， () π2/1 0 =φΦ ，这时， r 处壳层的概率密度可由 )( π4 22 rr ψ 代表，因为 rrDrrrRrrRr rΦΘrRrrrrP d)(d)(d π2 1 2 1 )(π4 d)( )( )(π4d )(π4d 2222 222222 ==??= == φθψ 可见， ()rr 22 π4 ψ 这时就是径向分布函数 ( )rD 。然而，如果不是 s 轨道， 就不能用 ( )rr 22 π4 ψ 来代表 ()rD 。 11. 自洽场方法的要点是什么。福克对哈特里的方法作了哪些改 进。 解： 自洽场方法的要点如下： (1) 其它电子对电子 i的库仑作用，用平均场方法计 算，即将任意 电子 j 对电子 i的平均位能，按力学量平均值表示为 jj ji * jji r e V τφ ε φ d π4 0 2 ∫ = 此时电子 i对总位能的贡献为 () ∑ ≠ +?= ji ji i ii V r Ze rV 0 2 π4 ε (2) 先假定除 1 φ 外的一组 j φ ，代入上式求出 ( ) 11 rV ，进而解薛定谔 方程得出 1 φ 。再依次计算 2 φ ， 3 φ ……。依此循环迭代，直至在设定的 误差范围内达到自洽，得到一组 i φ 和 i E 。 第9 章 量子力学基础 · 159· (3) 原子总轨道波函数为 ii φψ Π= ，总轨道能为 ∑ = i i EE 。 上述方法并未考虑泡利原理对波函数所规定的反对称要求。 福克进 一步采用以斯莱脱行列式表示完全波函数，并 引入库仑算符与交换算 符，是目前采用的基本方法。 12. 什么是光谱项，什么是光谱支项，它们和能级以及量子态有什 么区别。 解： 将原子光谱的多重性 12 +S （其中 S 为原子的总自旋量子数） ， 标在代表原子总轨道角量子数 L的符号 L 的左上角， SL = 、 P、 D、 F、 G、 H……，相应于 5 4 3 2 1 0 、、、、、=L ……，所得符号 L 12 +S 称为原子光谱 项。将原子总角量子 J （ J 的取值为 SL+ ， 1?+SL ，…… SL? ）标 在光谱项右下角，则为原子的光谱支项 J S L 12 + 。一个原子的一定的电子 组态存在多个能级，相应就可以有多个原子光谱项；每个光谱项可有多 个光谱支项， 代表精细的能级； 每个光谱支项还对应有 12 +J 个量子态， 说明精细能级在外磁场中会进一步分裂。