【 例 6.7.3】
重庆科技学院数理系,工科物理教程,
第 章6
【 题目 】
e♂
Q
R
o
电荷 Q均匀分布在半径为 R的球体内,求该 带电球体 的能量 。
【 题解 】
解法 1:
用两种方法求解直接用电场能量密度积分法来计算。
首先，应用高斯定理求出空间的场强分布。
:0 Rr 2π4d rESE
S

3
0
π341 riQ
r
3
0
1 π4 R
QrE

:Rr? 2π4d rESES
0?
Q?
2
0
2 π4 r
QE

由于场强分布具有球对称性，由公式 可知，电场 能量密度分布也具有球对称性,
220e Ew
3π4
3
R
Q
电荷体密度故分别取两个同心薄球壳状体积元来计算电场能量。薄球壳的体积为 。 rrV dπ4d 2?
r
【 例 6.7.3】
重庆科技学院数理系,工科物理教程,
第 章6
♂
3
0
1 π4 R
QrE
202 π4 r
QE
Rr0Rr?
薄球壳 中的电场能量为 rrV dπ4d 2?
VW dd w?
总电场能量为所有薄球壳中电场能量的相加，即
rrE dπ4 220
2
1 rrE dπ2 22
0
VEWW dd 2021?
RR rrErrE dπ2dπ2 22200 2210
R rrRr Q0 223
0
0 d)π4(π2
R rrrQ d)π4(π2 222
0
0
R
Q
0
2
0 π4 R
Q
0
2
π8
RW
Q
0
2
π20
3

所以空间电场总能量球外电场能量球内电场能量
【 例 6.7.3】
重庆科技学院数理系,工科物理教程,
第 章6
♂
R
从电场能量的建立过程来计算。解法 2：
原来球体不带电，电荷是从无穷远处一点点搬运来的。在搬运电荷的过程中，外力要不断地克服电场力做功，这些功最终转化为电场的能量。
试想：
假设,电荷是由内而外一层一层被从无穷远处搬运来的。
现在搬运的电荷 q已经占满了半径为 r
的球体，球体表面的电势为
r
qd
r
qU
0π4
'
qUA d'd?
再搬运 的电荷到球表面，外力克服电场力做的元功为
rrq dπ4d 2
3π4
3
R
Q
电荷体密度
Q
0
2
3?
r
3
π4
π4
1 3
0
r
r
rr d3π4 4
0
2

【 例 6.7.3】
重庆科技学院数理系,工科物理教程,
第 章6
♂
★ 第一种解法侧重于对已有电场能量分布的计算，是重点要求掌握的一种方法；
则当整个球体的电荷达到 Q时,外力所做的总功为
RQ rrqUA 0 4
0
2
0
d
3
π4d'
可见,这个功就转化为所建立的电场的能量,即 。AW?
5
0
2
15
π4 R

qUA d'd? rr d
3
π4 4
0
2

【 讨论 】
两种计算方法结果相同,但侧重点不同。
★ 第二种解法则强调了在电荷和电场建立的过程中，电场能量的来源，突出了能量转化的过程。
R
Q
0
2
π20
3

e
·结束 ·