【 例 6.5.4】
重庆科技学院数理系,工科物理教程,
第 章6
【 题目 】
e♂
o
(1) 求电场分布，球和球壳的电势 U球 和 U壳 及二者电势差 ΔU。
半径为 r１ 的导体球带有电荷 +q,球外有一同心导体球壳
,内外半径分别为 r２,r３,壳上带有电荷 +Q(见图 )。
电荷将空间划分为 4个区域。静电平衡后，电荷分布如图所示。
(1)分别作 4个同心球形高斯面，由高斯定理可求得这 4个区域的场强分布为
【 分析 】
【 题解 】
1r
2r
3r
)( 1rr?
rer
qE
2
0
2 π4
03?E?
rer
qE Q
2
0
4 π4?

01?E?
)( 21 rrr
)( 3rr?
)( 32 rrr
下面，选无穷远点为电势零点，用电势定义式求导体球和球壳的电势及电势差。
Q
q
q?
q?
1234
【 例 6.5.4】
重庆科技学院数理系,工科物理教程,
第 章6
♂
o
1r
2r
3r
1234
q
Q q?
1 dr lEU球
321 dπ4dπ4 2
0
2
0
r
r
r rr
qr
r
q Q

)(π4 1
3210 r
q
r
q
r
q Q
球壳和内球的电势分别为
3 d4r rEU壳
3
dπ4 2
0
r rr
q Q
30π4 r
q Q

321 dd 42 rrr lElE
03?E
21 d2rr rEU
★ 从导体球电势计算的过程中可以看出根据电势差的定义，球与球壳的电势差为
21 dπ4 2
0
r
r rr
q
)11(π4
210 rr
q
壳球 UUU
2E
4E
【 讨论 】
壳球 UUU
即
★ 当 Q增加 时，
球U
壳U,但 不变。U?
01?E
【 例 6.5.4】
重庆科技学院数理系,工科物理教程,
第 章6
【 题目 】
e♂
o1234
q
01?E
o1234
Q q?
(2) 若用导线将球和球壳连接，情况如何?
(3) 若外球壳接地，情况又如何?
【 题解 】
0321 EEE re
r
qE Q
2
0
4 π4?

故 0U
壳球 UU?
30π4 r
q Q

此时球壳外表面的电荷与大地中和，故
0431 EEE rerqE 2
0
2 π4
则 0?
壳UUU球 )
11(
π4 210 rr
q
此时球和球壳内表面的电荷中和，
球壳外表面的电荷仍为,而Qq?
03?E
02?E
4E
q
01?E
03?E
2E
04?E
Q q?
(2)
(3)
【 例 6.5.4】
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第 章6
【 题目 】
e♂
(4) 设外球壳离地面很远，若内球接地，电荷如何分布，
U２ 为多少?
此时内球和大地连接为一体，球壳的总带电量仍为 Q，但和内球上的电荷均重新分布，达到新的静电平衡。
【 题解 】
031 EE 04?E?
同时 0
UU 球
o
1r
2r
3r
1234
2E
4E
q?
Q q
3 d4r rEU壳 U
02?E?，但下面运用电势叠加原理计算内球的电势。
一个均匀带电球壳在球内任一点的电势为
R
qU
0π4?
10π4
'
r
qU
球 )π4
'(
20 r
q
30π4
'
r
Qq
0?
(4)
q
设内球表面带电,球壳内表面感应带电,q? q
那么球壳外表面带电 。此后仍有qQ
【 例 6.5.4】
重庆科技学院数理系,工科物理教程,
第 章6
♂
o
0π4 'π4 'π4 '
302010
rQqrqrqU球
Qrrrrrr rrq
313221
21'

可解得
★ 根据高斯定理可知，外球壳的内、外表面 均带正电，电荷总量为 Q。电场线从高电势指向低电势。
【 讨论 】
1r
2r
3r
1234
q?
Q q
★ 这一结果说明，当内球接地后，有,但并不表示内球就不带电；如果外球壳带电,内球会 感应带负电 。0?Q 0?球U
)(π4
)(
π4
'
3132210
12
30 rrrrrr
rrQ
r
QqU


壳此时，外球壳的电势为
q
·结束 ·
0q
e