第 9 章 量子力学基础 习 题 解 答 1. 若电子的波长为 110 10 × ? m ，计算该电子的动能（用 J 作单位） 。 解： λ υ m h = J102.41 m101 sJ10626.6 kg10109.92 1 2 1 2 1 17 2 10 34 31 2 2 ? ? ? ? ×= ? ? ? ? ? ? ? ? × ?× ×× = ? ? ? ? ? ? == λ υ h m mT 2. 计算下述粒子的德布罗意波的波长。 (1) 射出的子弹 (质量为 001. kg，速度为 110 31 ×? ? ms )； (2) 空气中的尘埃 (质量为 110 10 × ? kg ， 速度为 001 1 . ms? ? )； (3) 分子中的电子 (动能为 110 24 × ? J )； (4) 经 110 4 × V 电场加速的显像管 (真空 )中的电子。 解： (1) m106.6 sm101kg 0.01 sJ10626.6 35 13 34 ? ? ? ×= ?×× ?× === υ λ m h p h (2) λ υ == ×? ××? =× ? ?? ? h m 6626 10 001m 66 10 34 1 22 . . . Js 110 kg s m 10 (3) m109.4 J101kg109.1092 sJ10626.6 2 7 2431- 34 ? ? ? ×= ×××× ?× === mT h p h λ · 156· 思考题和习题解答 (4) m1023.1 V101C101.602kg109.1092 sJ10626.6 2 11 41931- 34 ? ? ? ×= ×××××× ?× = = mT h λ 3. 假定题 2.(1)、 (2)和 (3)中各粒子运动速度的不确定度 x υΔ 为各自 速度的 10%，试问这些粒子的坐标能否被确定。 解： (1) m106.6 sm10110%kg 01.0 sJ10626.6 34 13 34 ? ? ? ×= ?××× ?× = Δ? =Δ x m h x υ 就子弹的大小（线度约为 110 2 × ? m）而言，如此小的坐标不确定度完全 可以忽略。所以子弹的坐标完全可以被确定。 (2) m106.6 s0.01m10%kg101 sJ10626.6 21 110 34 ? ?? ? ×= ?××× ?× = Δ? =Δ x m h x υ 尘埃的线度约为 110 9 × ? m ，如 (1)理由，其坐标可被确定。 (3) m109.4 J101kg10109.9210% sJ10626.6 2%10 6 2431 34 ? ?? ? ×= ××××× ?× = = Δ? =Δ mT h m h x x υ 分子中的电子运动范围只有 110 10 × ? m ，而其坐标不确定度大于此值， 说明电子的坐标完全不确定。 4. 在 110 3 × V电场中加速的电子， 能否用普通光学光栅 (栅线间距 为 10 6? m )观察到电子的衍射 现象？若用晶体作为光栅 (晶面间距为 10 11? m)，又如何？ 第9 章 量子力学基础 · 157· 解： m109.3 V101C101.602kg109.1092 sJ10626.6 2 11 31931 34 ? ?? ? ×= ×××××× ?× = == mT h p h λ 该波长数量级与光学光栅的栅线间距数量级相差甚远， 所以不能用普通 光学光栅观察到这类电子的衍射现象。 该波长与晶体中晶面间距数量级 相同，晶体可作为它的天然光栅，所以此时能观察到电子的衍射现象。 5. 下列哪些算符为线性算符？ x 2 , d / dx, d 2 / dx 2 , sin, , log。 试予 以证明。 解： 假设 u和 υ均为 x 的函数 ()xu xux 222 += +υυ ∴ x 2 是线性算符 () d d d d d dx u x u x += +υυ ∴ d dx 是线性算符 () d d d d d d 222 x u x u x += +υυ ∴ d d 2 x 2 是线性算符 sin(uu+≠ +υ υ)sin sin ∴ sin 不是线性算符 uu+≠ +υυ ∴ 不是线性算符 ()log log loguu+≠ +υ υ ∴ log 不是线性算符 6. 下列哪些函数是算符 d 2 / dx 2 的本征函数？若是， 试求出本征值。 e x , sin x , 2cosx , x 3 , sin cosx x+ 。 解： 若 ( ) ( ) $ Fu x u x= λ ，则 ( )ux是 $ F 的本征函数， λ是 $ F 的本征值。 xx x ee d d 2 2 = ∴ x e 是本征函数，本征值为 1。 d d 2 x xx 2 sin sin=? ∴ sinx 是本征函数，本征值为- 1。 · 158· 思考题和习题解答 d d 2 x xx 2 22cos cos=? ∴ 2cosx是本征函数，本征值为- 1。 d d 2 x xx 2 3 6= ∴ x 3 不是本征函数。 [][] d d 2 x xx xx 2 sin cos sin cos+=?+ ∴ sin cosx x+ 是本征函数， 本 征值为- 1。 7. 已知函数 2 e x x α ψ ? = 为算符 [d 2 / dx 2 ?4α 2 x 2 ] 的本征函数， 求本征 值。 解： ( ) 2 2222 222 e6 e4e4e4e2 e4e d d e4 d d 3232 32 2 2 22 2 2 x xxxx xxx x xxxx xx x xx x α αααα ααα α αααα αα ? ???? ??? ?= ?+??= ?= ? ? ? ? ? ? ? 所以本征值为 ? 6α 。 8. 试求能使 e ?αx 2 为算符 [d 2 / dx 2 ?Bx 2 ] 的本征函数的 α值，并求本 征值。 解： 2222 ee2e4e d d 2222 2 2 xxxx BxxBx x αααα αα ???? ??= ? ? ? ? ? ? ? () 2 e24 222 x Bxx α αα ? ??= 若 2 e xα? 是算符的本征函数 则 42 22 2 ααxBx?? =常数 即 40 22 2 α xBx?= α =± B 2 第9 章 量子力学基础 · 159· 本征值为 m B 。 9. 长度为 l 的一维势箱中粒子运动的波函数为 )/sin( lxnC π=ψ ， 试求常数 C。 解： () 1 2 π2 sin π42 1 d 2 /π2cos1 d π sind 2 0 2 0 2 0 22 0 2 =?= ? ? ? ? ? ? ?= ? = == ∫ ∫∫ l C l xn n l xC x lxn C x l xn CxP l l ll ψ ∴ lC /2= 10. 在右面的分子离子中运动的 6 个π电子， 可近似作为一维势箱 中的粒子，若假定该分子离子中共轭链长为 08.nm。试求该分子离子由 基态跃迁至第一激发态时 (相当 于电子从 n = 3 的轨道跃迁到 n = 4 的轨道 )， 吸收光的波长 （实 验值为 309 nm） 。 解： () 2 22 2 ' 8 h nn ml hc E hc ? = Δ =λ 分子中有 6 个π电子，基态是 nnn 1 2 2 2 3 2 ，第一激发态是 nnnn 1 2 2 2 3 1 4 1 ， 所以 n'= 4， n = 3 () () nm 301=m1001.3 sJ10626.6)34( sm10998.2m100.8kg10109.98 8 7 3422 18 2 931 22 2 ? ? ??? ×= ?××? ?×××××× = ?′ = h nn cml λ 11. 计算氢原子基态到第一激发态跃迁时， 吸收光的谱线的波数和 H H H H && & & & & NCHCHCHN???? + · 160· 思考题和习题解答 波长 ( 折合质量 μ =× ? 9 104 10 31 .kg，实验值 ~ .ν = ? 82259 56 1 cm ， λ = 1215664. nm)。 解： ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?== 2 1 2 2 22 0 4 1 8 ~ nnhhc e hc E ε μΔ ν ( ) () 18 3 34 4 1931 sm10998.2sJ10626.6 C101.602kg10104.9 ?? ?? ?××?× ××× ?= () ? ? ? ? ? ? ?× ??×× × ??? 222 21212 1 1 2 1 mNC10854.88 1 1416 cm10172.8m10172.8 ?? ×=×= λ ν == × ? 1 1224 10 7 ~ . m = 122.4 nm 12. 计算氢原子和氦离子在 1s 态时电子离核的平均距离。 利用 ?Γ 函数积分公式 ( ) )!1(de 0 1 ?==Γ ∫ ∞ ?? nxxn xn 。 解： 0 / 2/3 0 s1 e π 1 aZr a Z ? ? ? ? ? ? ? ? ? =ψ () ()[]() () Z a Z a a Z rr a Z rr a Z rr a Z rrr a Z rrr aZr aZr aZr aZr 0 4 0 3 0 3 0 /23 3 0 3 0 /23 3 0 3 π2 0 π 0 0 /23 3 0 3 2/2 3 0 3 2 1s1s1s 2 3 ! 14 2 de 4 0π211de π d dsinde π dddsine π dd 0 0 0 0 ?=??? ? ? ? ? ? == ???? ? ? ? ? ? ? ? ? = = === ∫ ∫ ∫∫∫ ∫∫∫∫∫ ∞ ? ∞ ? ∞ ? ?? φθθ φθθτψτψψ 氢原子 1=Z ， ra= 3 2 0 氦离子 2=Z ， ra= 3 4 0 第9 章 量子力学基础 · 161· 13. 氢原子的基态波函数为 0 /3 01s e)π/1( ar a ? =ψ ，求 xyz、、 均为 00 01.1 aa → 的小体积内电子出现的概率 （该体积内 ψ 可近似当作常数） 。 解： () 3 0 2 1s 01.1 2 1s 2 1s 2 1s 01.0ddddd 0 0 azyxP a a ψψτψτψ ==== ∫∫∫∫∫ 其中 32 3 0 /2 3 0 /2 3 0 2 1s e π 1 e π 1 e π 1 0 222 0 ?++?? ?=?== aaa azyxar ψ 所以 () () 93323 0 32 3 0 100.1001.0e π 1 01.0e π 1 ??? ×=??=??= a a P 14. 已知氢原子 2p z 轨道波函数为 ( ) ()()θψ cos 2expπ24 00 1 3 0p2 arara z ?= ? (1) 求该轨道能级 E ； (2) 求轨道角动量的绝对值 M ； (3) 求该轨道角动量 M与 z 轴的夹角； (4) 求该轨道节面的形状和位置。 解： (1) eV 40.3eV/2 60.13/eV60.13 22 ?=?=?= nE (2) hh 2 ) 1( =+= llM (3) Mm z ==h 0，说明 M垂直于 z 轴，夹角为 90°。 (4) 节面 ψ = 0， 90=θ °，即与 z 轴垂直的平面，由于 r = 0 ，说 明该节面过原点，所以节面为 xy 平面。 15. 氢原子 1s 态本征函数 ( ) r Nr α ψ ? = e ，其中 N 和 α 为常数。 (1) 求归一化常数 N 和常数 α（利用 12 题中的积分公式） ； (2) 求该轨道能 量本征值。 · 162· 思考题和习题解答 解： (1) ψτ 2 1d ∫ = () () 1 π 2 2 π4 2 !2 π4deπ4 3 2 3 2 3 2 0 222 ===?= ∫ ∞ ? ααα α N NNrrN r ∴ π 3 α =N $ Hψψ= 常数 () ψ ε α α μ ψ ε α μ ψ ε ψ φθθ θ θθμ α ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??= ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? + ? ? ? ? ?? ? r e r r e r rr N r e rrr r rr r 0 2 2 2 0 2 2 2 2 0 2 2 2 222 2 2 2 π4 2 2 π4 e 1 2 π4sin 1 sin sin 11 2 h h h ∴ 0 π4 0 22 =? r e r εμ αh 0 2 0 2 1 π ah e == ε μ α 3 0 π 1 a N = (2) 2 0 2 2 22 π8 2 a h μ μ α ?= ?= h 本征值 () () 2 12-312 2 34 m1052.92kg10104.9π8 sJ10626.6 ×××× ?× ?= ? ? eV 13.6J1018.2 18 ?=×?= ? 第9 章 量子力学基础 · 163· 16. 已知某单电子原子轨道波函数 ( )( )1cos3 2 ?= θψ rNf 。求该轨 道角动量本征值 M ，并指出轨道角量子数之值。 解： ψψ 22 MM ? = () () () () ψ θ θθθ θ θ φθθ θ θθ 2 22 232 2 2 2 2 2 6 1cos36 cossin2sin sin 1 6 1cos3 sin 1 sin sin 1 h h h h = ?= +????= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? rNf rNf rNf ∴ h6=M ， 角量子数 2=l 17. 试求氢原子 z p2 ψ 轨道电子云径向分布极大值离核的距离。 已知 该轨道的径向波函数为 ( ) ( ) 0 2/ 0 2/3 0 1 e 1) 62 ( ar araR ?? = 。 解： 0 /4 5 0 22 e 1 24 1 ar r a RrD ? ? ? ? ? ? ? ? ? == 0e 1 4 1 24 1 0 /4 0 3 5 0 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ar r a r a D r ∴ 0max 4ar = 18. 试写出硼离子 B 2+ 薛定谔方程的表达式（不必考虑电子自旋） ， 并说明哈密顿算符中各项的物理意义。 解： 硼离子 +2 B 的核电荷数为 5；核外电子数为 3。根据教材中的 式 (9-193)，其薛定谔方程可表达为 · 164· 思考题和习题解答 () ψψ ε εμ E rrr e rrr e = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? +++ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ++??+?+?? 111 π4 111 π4 5 2 3123120 2 3210 2 2 3 2 2 2 1 2 h 哈密顿算符中第一项 () 2 3 2 2 2 1 2 2 ?+?+?? μ h 为 3 个电子的动能项； 第二项 ? ? ? ? ? ? ? ? ++? 3210 2 111 π4 5 rrr e ε 为 3 个电子与核之间的吸引能项； 第三项 ? ? ? ? ? ? ? ? ++ 3123120 2 111 π4 rrr e ε 为 3 个电子间的排斥能项。 19. 试推出钠原子和氟原子基态的原子光谱项和光谱支项； 推出碳 原子激发态（ 1s 2 2s 2 2p 1 3p 1 ）的原子光谱项和光谱支项。 解： 钠原子基态 Na )3s2p2ss1( 1622 ，内层轨道电子全充满，对原子 的量子数无贡献，只需考虑未充满的外层轨道中的电子，即 )s3( 1 ： 0=L ， 2/1=S ， 2/1=J 原子光谱项为 S 2 ；光谱支项为 2/1 2 S 。 氟原子基态 F )p2( 5 ，由于 3 个 p 轨道中有 2 个充满电子，所以其 光谱项和支项与 )p( 1 组态是相同的： 1=L ， 2/1=S ， 2/3=J ， 2/1=J 原子光谱项为 P 2 ；光谱支项为 2/3 2 P 和 2/1 2 P 。 碳原子激发态 C )p3p2s2s1( 1122 ： 第9 章 量子力学基础 · 165· 2=L 、 1、 0， 0=S 、 1 20. 写出铝原子基态（ 3p 1 ）和激发态（ 3d 1 ）的光谱项和光谱支项。 解： 铝原子基态 Al（ 3p 1 ）： 1=L ， 2/1=S ， 2/3=J ， 2/1=J 原子光谱项 2 P；光谱支项 2 P 3/2 ， 2 P 1/2 。 铝原子激发态 Al（ 3d 1 ）： 2=L ， 2/1=S ， 2/5=J ， 2/3=J 原子光谱项 2 D；光谱支项 2 D 5/2 ， 2 D 3/2 。 原子光谱项 光谱支项 3 D（ 3=J 、 2、 1） 3 D 3 ， 3 D 2 ， 3 D 1 1 D（ 2=J ） 1 D 2 3 P（ 2=J 、 1、 0） 3 P 2 ， 3 P 1 ， 3 P 0 1 P（ 1=J ） 1 P 1 3 S（ 1=J ） 3 S 1 1 S（ 0=J ） 1 S 0